欧拉公式 Euler's formula

将${\color{Red}t}$看作时间，${\color{Green} e^t}$看作质点的速度，${\color{Blue} e^t}$看作质点的位置。此时速度与位置符号相同。

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{2t}} = {\color{Blue} 2\cdot e^{2t}}$

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{-0.5t}} = {\color{Blue} -0.5\cdot e^{-0.5t}}$

此时速度与位置方向相反。质点随时间趋于原点。

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{it}} = {\color{Blue} i\cdot e^{it}}$

在复平面中，速度与位置方向垂直。质点不断旋转。

得到欧拉公式：

$e^{ix}=\cos x + i\sin x$

当 $x=\pi$ 时：

$e^{i\pi}+1=0$

傅里叶级数 Fouriter Series

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum^{N}_{n=1}A_n\cdot \cos\left(\frac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right)$ $s_N(x)=\sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}}$

如果把一副二维矢量图(svg)看作是一个复平面的函数$s_N(x)$，则这个函数可以用多个旋转的圆$c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}}$复合来表示。（不知道咋表达orz）$c_n$是一个复数，表示这个圆的初始状态（半径，方向）。$n$表示这个圆的旋转速率。

傅里叶变换 （FT） 是一种数学变换，它将函数分解为频率分量，频率分量由变换的输出表示为频率的函数)。最常见的时间或空间函数被转换，这将分别根据时间频率或空间频率输出函数。（将信号的时域转换为频域）。

可以将一个周期函数分解成多个正/余弦函数。

将一个周期函数绕成一个圈，观察这个圈在不同频率下的质心位置。

这个质心位置在某频率表现特殊。

在多个混合的周期函数中，这个现象也成立。

我们把这个绕圈操作视作在复平面下逆时针旋转。根据欧拉公式就是将原函数$g(t)$后乘以$e^{-2\pi ift}$。就把时域$t$转换成了频域$f$。

$\hat{g}({\color{Red} f})=\int^{t_2}_{t_1}g(t)e^{-2\pi i{\color{Red} f}t}dt$

如果把一个非周期的函数视作是一个周期无限大的函数：

$\hat{g}({\color{Red} f})=\int^{+\infty}_{-\infty}g(t)e^{-2\pi i{\color{Red} f}t}dt$

将旋转后的函数再顺时针旋转回来，就是$\hat{g}(f)$后乘以$e^{2\pi ift}$：就把频域$f$转换成了时域$t$。

$g(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}\hat{g}(f)e^{2\pi ift}df$

它能够将计算DFT（离散傅里叶变换）的复杂度从只用DFT定义计算需要的$O(n^2)$，降低到$O(n\log n)$，其中$n$为数据大小。