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GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪（8）

计算机图形学学习笔记，学习自闫令琪。

资源

课程

Lecture 21 Animation

Animation "Bring things to life"

“让事物变得栩栩如生”

  • Communication tool

    通讯工具

  • Aesthetic issues often dominate technical issues

    美观问题常常主导技术问题

An extension of modeling

建模的延伸

  • Represent scene models as a function of time

    将场景模型表示为时间的函数

Output: sequence of images that when viewed sequentially provide a sense of motion

输出：按顺序观看时提供运动感的图像序列

  • Film: 24 frames per second

    电影：每秒 24 帧

  • Video (in general): 30 fps

    视频（一般）：30 fps

  • Virtual reality: 90 fps

    虚拟现实：90 fps

Historical Points in Animation

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早在公元前 3200 年，就有动画这个概念。

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跑马灯。

First Film

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Originally used as scientific tool rather than for entertainment

最初用作科学工具而不是娱乐

Critical technology that accelerated development of animation

加速动画发展的关键技术

First Hand-Drawn Feature-Length (>40mins) Animation

第一个手绘长片（>40 分钟）动画

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First Digital-Computer-Generated Animation

最早的电脑生成的动画

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First CG Feature-Length Film

最早的图形学电影

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Keyframe Animation

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Animator (e.g. lead animator) creates keyframes

动画师（例如首席动画师）创建关键帧

Assistant (person or computer) creates in-between frames ("tweening")

助手（人或计算机）创建中间帧（“补间”）

Keyframe Interpolation

Think of each frame as a vector of parameter values

将每一帧视为参数值的向量

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Keyframe Interpolation of Each Parameter

各参数关键帧插值

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Linear interpolation usually not good enough

线性插值通常不够好

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Recall splines for smooth / controllable interpolation

调用样条曲线以实现平滑/可控插值

Physical Simulation

F=maF=ma

Physically Based Animation

基于物理的动画

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衣服上的每个点都受重力和其他地方的牵引力共同作用。

Generate motion of objects using numerical simulation

使用数值模拟生成物体的运动

Example: Cloth Simulation

Example: Fluids

Mass Spring System: Example of Modeling a Dynamic System

质量弹簧系统：动态系统建模示例

Example: Mass Spring Rope

Example: Hair

Example: Mass Spring Mesh

A Simple Spring

Idealized spring

理想的弹簧

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fa→b=kS(b−a)fb→a=−fa→b\begin{aligned}&f_{a\to b}=k_S(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})\\&f_{b\to a}=-f_{a\to b}\end{aligned}

Force pulls points together

力将点拉到一起

Strength proportional to displacement (Hooke' s Law)

强度与位移成正比（胡克定律）

ksk_s is a spring coefficient: stiffness

ksk_s 是弹簧系数：刚度

Problem: this spring wants to have zero length

问题：这个弹簧想要零长度

Non-Zero Length Spring

Spring with non-zero rest length

弹簧有起始长度 ll

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fa→b=kSb−a∣∣b−a∣∣(∣∣b−a∣∣−l)\boldsymbol{f}_{a\to b}=k_S\frac{\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}||}\left(||\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}||-l\right)

Problem: oscillates forever

问题：永远振荡

Dot Notation for Derivatives

导数的点符号

If x\boldsymbol x is a vector for the position of a point of interest, we will use dot notation for velocity and acceleration:

如果 x\boldsymbol x 是感兴趣点位置的向量，我们将使用点符号表示速度和加速度：

xx˙=υx¨=a\begin{aligned}&\boldsymbol{x}\\&\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{\upsilon}\\&\boldsymbol{\ddot{x}}=\boldsymbol{a}\end{aligned}

Introducing Energy Loss

引入能量损失（解决永远震荡的问题）

Simple motion damping

简单运动阻尼

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f=−kdb˙\boldsymbol{f}=-k_d\boldsymbol{\dot{b}}

  • Behaves like viscous drag on motion

    表现得像运动中的粘性阻力

  • Slows down motion in the direction of velocity

    减慢速度方向的运动

  • kdk_d is a damping coefficient

    kdk_d 是阻尼系数

Problem: slows down all motion

问题：减慢所有运动

  • Want a rusty spring' s oscillations to slow down, but should it also fall to the ground more slowly?

    希望生锈的弹簧的振动减慢，但它是否也应该更慢地落到地面？

Internal Damping for Spring

弹簧内部阻尼

Damp only the internal, spring-driven motion

仅阻尼内部弹簧驱动运动

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fb=−kdb−a∣∣b−a∣∣(b˙−a˙)⋅b−a∣∣b−a∣∣f_{\boldsymbol{b}}=-k_d\frac{b-a}{||b-a||}(\dot{\boldsymbol{b}}-\dot{\boldsymbol{a}})\cdot\frac{b-a}{||b-a||}

  • fbf_b：

    Damping force applied on bb

    施加在 bb 上的阻尼力

  • b−a∣∣b−a∣∣(b˙−a˙)\frac{b-a}{||b-a||}(\dot{\boldsymbol{b}}-\dot{\boldsymbol{a}})：

    Relative velocity projected to the direction from a to bb (scalar)

    投影到从 aa 到 bb 方向的相对速度（标量）

  • b−a∣∣b−a∣∣\frac{b-a}{||b-a||}：

    Direction from aa to bb

    从 aa 到 bb 的方向

  • Viscous drag only on change in spring length

    粘性阻力仅随着弹簧长度的变化而变化

    • Won' t slow group motion for the spring system (e.g. global translation or rotation of the group)

      不会减慢弹簧系统的组运动（例如组的全局平移或旋转）

  • Note: This is only one specific type of damping

    注意：这只是一种特定类型的阻尼

Structures from Springs

弹簧结构

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Behavior is determined by structure linkages

行为由结构联系决定

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This structure will not resist shearing

该结构不能抵抗剪切

This structure will not resist out-of-plane bending...

这种结构不能抵抗面外弯曲......

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This structure will resist shearing but has anisotropic bias

这种结构可以抵抗剪切，但具有各向异性偏差

This structure will not resist out-of-plane bending either...

这种结构也不能抵抗面外弯曲......

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This structure will resist shearing.

该结构将抵抗剪切。

Less directional bias.

方向性偏差较小。

This structure will not resist out-of-plane bending either...

这种结构也不能抵抗面外弯曲......

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They behave like what they are (obviously!)

他们的行为就像他们本来的样子（显然！）

This structure will resist shearing.

该结构将抵抗剪切。

Less directional bias.

方向性偏差较小。

This structure will resist out-of-plane bending

该结构将抵抗面外弯曲

Red springs should be much weaker

红色弹簧应该弱得多

这种结构就可以很好地模拟布料。

Particle Systems

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Model dynamical systems as collections of large numbers of particles

将动力系统建模为大量粒子的集合

Each particle' s motion is defined by a set of physical (or non-physical) forces

每个粒子的运动由一组物理（或非物理）力定义

Popular technique in graphics and games

图形和游戏中的流行技术

  • Easy to understand, implement

    易于理解、实施

  • Scalable: fewer particles for speed, more for higher complexity

    可扩展：更少的粒子提高速度，更多的粒子提高复杂性

Challenges

挑战

  • May need many particles (e.g. fluids)

    可能需要许多颗粒（例如液体）

  • May need acceleration structures (e.g. to find nearest particles for interactions)

    可能需要加速结构（例如寻找最近的粒子进行相互作用）

Particle System Animations

For each frame in animation

对于动画中的每一帧

  • [If needed] Create new particles

    [如果需要] 创建新粒子

  • Calculate forces on each particle

    计算每个粒子上的力

  • Update each particle' s position and velocity

    更新每个粒子的位置和速度

  • [If needed] Remove dead particles

    [如果需要] 去除死颗粒

  • Render particles

    渲染粒子

Particle System Forces

Attraction and repulsion forces

吸引力和排斥力

  • Gravity, electromagnetism, …

    重力、电磁力……

  • Springs, propulsion, …

    弹簧、推进力……

Damping forces

阻尼力

  • Friction, air drag, viscosity, …

    摩擦力、空气阻力、粘度……

Collisions

碰撞

  • Walls, containers, fixed objects, …

    墙壁、容器、固定物体……

  • Dynamic objects, character body parts, …

    动态物体、角色身体部位……

Gravitational Attraction

Newton' s universal law of gravitation

牛顿万有引力定律

  • Gravitational pull between particles

    粒子之间的引力

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Fg=Gm1m2d2G=6.67428×10−11Nm2kg−2\begin{aligned}F_{g}&=G\frac{m_{1}m_{2}}{d^{2}}\\G&=6.67428\times10^{-11}\mathrm{Nm}^{2}\mathrm{kg}^{-2}\end{aligned}

Example: Galaxy Simulation

Example: Particle-Based Fluids

Simulated Flocking as an ODE

作为 ODE 的模拟植绒

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Model each bird as a particle

将每只鸟建模为一个粒子

Subject to very simple forces:

受到非常简单的力的影响：

  • attraction to center of neighbors

    对邻居中心的吸引力

  • repulsion from individual neighbors

    个别邻居的排斥

  • alignment toward average trajectory of neighbors

    与邻居的平均轨迹对齐

Simulate evolution of large particle system numerically

数值模拟大粒子系统的演化

Emergent complex behavior (also seen in fish, bees, ...)

突发的复杂行为（也见于鱼、蜜蜂……）

Example: Molecular Dynamics

Example: Crowds + “Rock” Dynamics

Forward Kinematics

正向运动学

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Articulated skeleton

铰接骨架

  • Topology (what' s connected to what)

    拓扑（什么与什么相连）

  • Geometric relations from joints

    关节的几何关系

  • Tree structure (in absence of loops)

    树结构（没有循环）

Joint types

接头类型

  • Pin (1D rotation)

    销（一维旋转）

  • Ball (2D rotation)

    球（2D 旋转）

  • Prismatic joint (translation)

    棱柱接头（转换）

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根据骨骼的运动计算出终点的位置。

Kinematics Pros and Cons

运动学的优点和缺点

Strengths

优势

  • Direct control is convenient

    直接控制方便

  • Implementation is straightforward

    实施很简单

Weaknesses

弱点

  • Animation may be inconsistent with physics

    动画可能与物理不一致

  • Time consuming for artists

    艺术家耗时

Inverse Kinematics

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已知终点反推运动情况。

θ2=cos⁡−1(pz2+px2−l12−l222l1l2)θ1=−pzl2sin⁡(θ2)+px(l1+l2cos⁡(θ2))pxl2sin⁡(θ2)+pz(l1+l2cos⁡(θ2))\begin{aligned}\theta_2&=\cos^{-1}\left(\frac{p_z^2+p_x^2-l_1^2-l_2^2}{2l_1l_2}\right)\\\theta_1&=\frac{-p_zl_2\sin(\theta_2)+p_x(l_1+l_2\cos(\theta_2))}{p_xl_2\sin(\theta_2)+p_z(l_1+l_2\cos(\theta_2))}\end{aligned}

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Why is the problem hard?

  • Multiple solutions in configuration space

    可能导致多解。

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  • Solutions may not always exist

    可能导致无解（终点只可能在外圆和内圆之间）

Numerical solution to general N-link IK problem

一般 N-link IK 问题的数值求解

  • Choose an initial configuration

    选择初始配置

  • Define an error metric (e.g. square of distance between goal and current position)

    定义误差度量（例如目标和当前位置之间距离的平方）

  • Compute gradient of error as function of configuration

    计算作为配置函数的误差梯度

  • Apply gradient descent (or Newton' s method, or other optimization procedure)

    应用梯度下降（或牛顿法，或其他优化程序）

Rigging

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Rigging is a set of higher level controls on a character that allow more rapid & intuitive modification of pose, deformations, expression, etc.

绑定是对角色的一组更高级别的控制，可以更快速、更直观地修改姿势、变形、表情等。

Important

重要的

  • Like strings on a puppet

    就像木偶上的弦一样

  • Captures all meaningful

    捕捉所有有意义的内容

character changes

性格变化

  • Varies from character to

    因角色而异

character

特点

Expensive to create

创建成本昂贵

  • Manual effort

    手动操作

  • Requires both artistic and technical training

    需要艺术和技术培训

Blend Shapes

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Instead of skeleton, interpolate directly between surfaces

代替骨架，直接在曲面之间插值

E.g., model a collection of facial

例如，对面部集合进行建模

expressions:

表达式：

Simplest scheme: take linear combination of vertex positions

最简单的方案：采用顶点位置的线性组合

Spline used to control choice of weights over time

样条曲线用于控制随时间变化的权重选择

Motion Capture

动作捕捉

Data-driven approach to creating animation sequences

创建动画序列的数据驱动方法

  • Record real-world performances (e.g. person executing an activity)

    记录现实世界的表现（例如执行某项活动的人）

  • Extract pose as a function of time from the data collected

    从收集的数据中提取姿势作为时间的函数

Motion Capture Pros and Cons

Strengths

优势

  • Can capture large amounts of real data quickly

    可以快速捕获大量真实数据

  • Realism can be high

    真实感可能很高

Weaknesses

缺点

  • Complex and costly set-ups

    复杂且昂贵的设置

  • Captured animation may not meet artistic needs, requiring alterations

    捕获的动画可能无法满足艺术需求，需要进行修改

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Optical Motion Capture

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  • Markers on subject

    主题标记

  • Positions by triangulation from multiple cameras

    通过多个摄像机的三角测量进行定位

  • 8+ cameras, 240 Hz, occlusions are difficult

    8 个以上摄像头，240 Hz，遮挡困难

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Motion Data

动作数据

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Challenges of Facial Animation

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Uncanny valley（恐怖谷效应）

  • In robotics and graphics

    在机器人和图形学领域

  • As artificial character appearance approaches human realism, our emotional response goes negative, until it achieves a sufficiently convincing level of realism in expression

    当人造角色外观接近人类现实主义时，我们的情绪反应会变得消极，直到它在表达上达到足够令人信服的现实主义水平

    （还要防止别人拿人造角色干坏事）

Facial Motion Capture

面部动作捕捉

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​《阿凡达》就是用面部动作捕捉拍的。

The Production Pipeline

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动画制作流程。

Lecture 22: Animation (cont.)

Single Particle Simulation

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First study motion of a single particle

首次研究单个粒子的运动

  • Later, generalize to a multitude of particles

    随后，推广到多个粒子

To start, assume motion of particle determined by a velocity vector field that is a function of position and time:

首先，假设粒子的运动由速度矢量场确定，速度矢量场是位置和时间的函数：

v(x,t)v(x,t)

粒子所处的位置决定了它的速度。

Ordinary Differential Equation (ODE)

常微分方程 (ODE)

Computing position of particle over time requires solving a firstorder ordinary differential equation:

计算粒子随时间的位置需要求解一阶常微分方程：

dxdt=x˙=v(x,t)\frac{dx}{dt}=\dot{x}=v(x,t)

"First-order" refers to the first derivative being taken.

“一阶”是指所取的一阶导数。

"Ordinary" means no "partial" derivatives, i.e. xx is just a function of tt

“普通”意味着没有“偏”导数，即 xx 只是 tt 的函数

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We can solve the ODE, subject to a given initial particle position x0x_0, by using forward numerical integration

我们可以在给定初始粒子位置 x0x_0 的情况下，通过使用前向数值积分来求解 ODE

Euler' s Method

欧拉方法（Euler's Method）是一种常用的数值解微分方程的方法。它由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在 18 世纪提出，并且被广泛应用于工程、物理、计算机图形学等领域。

欧拉方法主要用于解决常微分方程（ODE）的初值问题，即已知某个点上的初始条件，求解该点附近的微分方程的近似解。其基本思想是通过离散化的步骤逐步逼近微分方程的解。

这里简要说明欧拉方法的步骤：

  1. 离散化时间：首先，我们将自变量的定义域（通常是时间）分成小的时间间隔。令 Δt\Delta t 表示时间步长。

  2. 近似初始值：根据初始条件，确定初始值。例如，对于常微分方程 dy/dx=f(x,y\text dy/\text dx = f(x, y)，我们需要初始值 y(x0)=y0y(x_0) = y_0，其中 (x0,y0)(x_0, y_0) 是已知的。

  3. 迭代逼近：利用微分方程的近似线性关系，在每个时间步长上，根据当前点的斜率（即微分方程在该点处的导数值），通过线性近似来计算下一个点的值。

    具体地，对于欧拉方法，迭代公式如下：[yn+1=yn+f(xn,yn)⋅Δt][ y_{n+1} = y_n + f(x_n, y_n) \cdot \Delta t ]

    其中，(xn=x0+n⋅Δt)( x_n = x_0 + n \cdot \Delta t ) 是第 nn 个时间步长的自变量值，(yn)( y_n ) 是第 nn 个时间步长上的近似解，(f(xn,yn))( f(x_n, y_n) ) 是微分方程在 ((xn,yn))( (x_n, y_n) ) 处的斜率（即导数值）。

  4. 重复迭代：重复上述步骤，直到达到所需的时间点或满足某个终止条件。

欧拉方法的优点是简单易实现，但它的精度通常较低，特别是在处理步长较大、导数变化剧烈的情况下。因此，在实际应用中，可能需要考虑其他更高阶的数值积分方法来提高精度。

Euler' s Method (a.k.a. Forward Euler, Explicit Euler)

欧拉方法（又称前向欧拉、显式欧拉）

  • Simple iterative method

    简单的迭代方法

  • Commonly used

    常用

  • Very inaccurate

    很不准确

  • Most often goes unstable

    通常会变得不稳定

xt+Δt=xt+Δtx˙tx˙t+Δt=x˙t+Δtx¨t\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{x}^t+\Delta t\boldsymbol{\dot{x}}^t\\\boldsymbol{\dot{x}}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{\dot{x}}^t+\Delta t\boldsymbol{\ddot{x}}^t

Euler' s Method - Errors

With numerical integration, errors accumulate

通过数值积分，误差会累积

Euler integration is particularly bad

欧拉积分特别糟糕

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**Example: **

xt+Δt=xt+Δtv(x,t)x^{t+\Delta t}=x^t+\Delta t\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)

Instability of the Euler Method

The Euler method (explicit / forward)

欧拉方法（显式/前向）

xt+Δt=xt+Δtv(x,t)x^{t+\Delta t}=x^t+\Delta t\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)

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Two key problems:

两个关键问题：

  • Inaccuracies increase as time step Δt\Delta t increases

    误差随着时间步 Δt\Delta t 的增加而增加

  • Instability is a common, serious problem that can cause simulation to diverge

    不稳定是一个常见的严重问题，可能导致模拟出现偏差

Errors and Instability

Solving by numerical integration with finite differences leads to two problems:

通过有限差分数值积分求解会导致两个问题：

Errors

错误

  • Errors at each time step accumulate.

    每个时间步的错误都会累积。

    Accuracy decreases as simulation proceeds

    随着模拟的进行，准确性会降低

  • Accuracy may not be critical in graphics applications

    准确性在图形应用程序中可能并不重要

Instability

不稳定

  • Errors can compound, causing the simulation to diverge even when the underlying system does not

    错误可能会复合，导致模拟出现偏差，即使底层系统没有出现偏差

  • Lack of stability is a fundamental problem in simulation, and cannot be ignored

    缺乏稳定性是仿真中的一个根本问题，不容忽视

Combating Instability

对抗不稳定

Some Methods to Combat Instability

应对不稳定的一些方法

Midpoint method / Modified Euler

中点法/修正欧拉法

  • Average velocities at start and endpoint

    起点和终点的平均速度

Adaptive step size

自适应步长

  • Compare one step and two half-steps, recursively, until error is acceptable

    递归地比较一步和两个半步，直到误差可以接受

Implicit methods

隐式方法

  • Use the velocity at the next time step (hard)

    在下一个时间步使用速度（困难）

Position-based / Verlet integration

基于位置/Verlet 集成

  • Constrain positions and velocities of particles after time step

    时间步长后约束粒子的位置和速度

Midpoint Method

中点法

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  • Compute Euler step (a)

    计算欧拉步骤 (a)

  • Compute derivative at midpoint of Euler step (b)

    计算欧拉步骤 (b) 中点的导数

  • Update position using midpoint derivative (c)

    使用中点导数更新位置 (c)

xmid=x(t)+Δt/2⋅v(x(t),t)x(t+Δt)=x(t)+Δt⋅v(xmid,t)\begin{aligned}x_{\mathrm{mid}}&=x(t)+\Delta t/2\cdot v(x(t),t)\\x(t+\Delta t)&=x(t)+\Delta t\cdot v(x_{\mathrm{mid}},t)\end{aligned}

Modified Euler

修改欧拉

  • Average velocity at start and end of step

    步骤开始和结束时的平均速度

  • Better results

    更好的结果

&\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{x}^t+\frac{\Delta t}{2}(\dot{\boldsymbol{x}}^t+\dot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t}) \\ &\dot{\boldsymbol{x}}^{t+\Delta t}=\dot{\boldsymbol{x}}^t+\Delta t\ddot{\boldsymbol{x}}^t \\ &\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{x}^t+\Delta t\dot{\boldsymbol{x}}^t+\frac{(\Delta t)^2}{2}\ddot{\boldsymbol{x}}^t \end{aligned}$$ --- **Adaptive Step Size** ![png](22.6.png) - Technique for choosing step size based on error estimate 基于误差估计选择步长的技术 - Very practical technique 非常实用的技术 - But may need very small steps! 但可能需要非常小的步骤！ Repeat until error is below threshold: ​ 重复直到误差低于阈值： - Compute $x_T$ an Euler step, size $T$ 计算 $x_T$ 欧拉步，大小 $T$ - Compute $x_T/2$ two Euler steps, size $T/2$ 计算 $x_T/2$ 两个欧拉步，大小 $T/2$ - Compute error $|| x_T – x_{T/2} ||$ 计算错误 $|| x_T – x_{T/2} ||$ - If (error > threshold) reduce step size and try again 如果（错误>阈值）减小步长并重试 --- **Implicit Euler Method** ​ 隐式欧拉法 - Informally called backward methods 非正式地称为后向方法 - Use derivatives in the future, for the current step 在未来使用衍生品，用于当前步骤 $$\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{x}^t+\Delta t\boldsymbol{\dot{x}}^{t+\Delta t}\\\boldsymbol{\dot{x}}^{t+\Delta t}=\boldsymbol{\dot{x}}^t+\Delta t\boldsymbol{\ddot{x}}^{t+\Delta t}$$ - Solve nonlinear problem for $\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}$ and $\boldsymbol{\dot{x}}^{t+\Delta t}$ 求解 $\boldsymbol{x}^{t+\Delta t}$ 和 $\boldsymbol{\dot{x}}^{t+\Delta t}$ 的非线性问题 - Use root-finding algorithm, e.g. Newton' s method 使用寻根算法，例如 牛顿法 - Offers much better stability 提供更好的稳定性 How to determine / quantize "stability"? ​ 如何确定/量化“稳定性”？ - We use the local truncation error (every step) / total accumulated error (overall) 我们使用局部截断误差（每一步）/总累积误差（总体） - Absolute values do not matter, but the orders w.r.t. step 绝对值并不重要，但顺序是重要的。 - Implicit Euler has order $1$, which means that 隐式欧拉的阶数为 $1$，这意味着 - Local truncation error: $O(h^2)$ and 局部截断错误：$O(h^2)$ 和 - Global truncation error: $O(h)$ ($h$ is the step, i.e. $\Delta t$) 全局截断错误：$O(h)$（$h$ 是步长，即 $\Delta t$） - Understanding of $O(h)$ 对$ O(h)$ 的理解 - If we halve $h$, we can expect the error to halve as well 如果我们将 $h$ 减半，我们可以预期误差也会减半 --- **Runge-Kutta Families** A family of advanced methods for solving ODEs ​ 一系列求解 ODE 的高级方法 - Especially good at dealing with non-linearity 特别擅长处理非线性 - It' s order-four version is the most widely used, a.k.a. RK4 它的四阶版本是使用最广泛的，又名 RK4 Initial condition: $$\frac{dy}{dt}=f(t,y),\quad y(t_0)=y_0.$$ RK4solution: $$\begin{aligned}&y_{n+1}=y_n+\frac16h\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right),\\&t_{n+1}=t_n+h\end{aligned}$$ where $$\begin{aligned}k_1=&f(t_n,y_n),&k_3&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+h\frac{k_2}2\right),\\k_2=&f\left(t_n+\frac h2,y_n+h\frac{k_1}2\right),&k_4=&f\left(t_n+h,y_n+hk_3\right).\end{aligned}$$ --- **Position-Based / Verlet Integration** ​ 基于位置/Verlet 集成 Idea: ​ 主意： - After modified Euler forward-step, constrain positions of particles to prevent divergent, unstable behavior 修改欧拉前步后，约束粒子的位置以防止发散、不稳定的行为 - Use constrained positions to calculate velocity 使用约束位置来计算速度 - Both of these ideas will dissipate energy, stabilize 这两种想法都会消耗能量，稳定 Pros / cons ​ 优点缺点 - Fast and simple 快速且简单 - Not physically based, dissipates energy (error) 不基于物理，消耗能量（错误） --- **Rigid Body Simulation** ​ 刚体模拟 Simple case ​ 简单案例 - Similar to simulating a particle 类似于模拟粒子 - Just consider a bit more properties 只需考虑更多属性 $$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}\mathrm{X}\\\theta\\\mathrm{\dot{X}}\\\omega\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\dot{X}}\\\omega\\\mathrm{F}/M\\\Gamma/I\end{array}\right)$$ - $X$: positions 位置 - $\theta$: rotation angle 旋转角度 - $\omega$: angular velocity 角速度 - $F$: forces 力 - $\Gamma$: torque 扭矩 - $I$: momentum of inertia 惯性动量