资源

• GAMES101 - CS 自学指南 (csdiy.wiki)

• Lecture 01 Overview of Computer Graphics_哔哩哔哩_bilibili

• GAMES101: 现代计算机图形学入门 (ucsb.edu)

• GAMES101 笔记 (notion.so)

课程

Lecture 13: Ray Tracing 1 (Whitted-Style Ray Tracing)

Why Ray Tracing?

Soft shadows

软阴影

Glossy reflection

光泽反射

Indirect illumination

间接照明

• Rasterization couldn' t handle global effects well

光栅化无法很好地处理全局效果

• (Soft) shadows

（软）阴影

• And especially when the light bounces more than once

  尤其是当光线反弹不止一次时

Rasterization is fast, but quality is relatively low

光栅化速度快，但质量相对较低

早期的游戏看上去画质不好，因为这个游戏的地图太大了，为了保证性能只得牺牲画质。

不需要实时渲染的任务下，光线追踪可以渲染出很好的效果。

• Ray tracing is accurate, but is very slow

  光线追踪很精确，但速度很慢

  • Rasterization: real-time, ray tracing: offline

    光栅化：实时，光线追踪：离线

  • ~10K CPU core hours to render one frame in production

    在生产中渲染一帧图像需要 ~10K CPU 核心小时

Basic Ray-Tracing Algorithm

Light Rays

光线

Three ideas about light rays

关于光线的三种观点

1. Light travels in straight lines (though this is wrong)

   光是直线传播的（尽管这是错误的）

2. Light rays do not “collide” with each other if they cross (though this is still wrong)

   光线交叉时不会相互 "碰撞"（尽管这仍然是错误的）

3. Light rays travel from the light sources to the eye (but the physics is invariant under path reversal-reciprocity).

   光线从光源到眼睛传播（但物理规律在路径反向-互易性下保持不变）

“And if you gaze long into an abyss, the abyss also gazes into you.” — Friedrich Wilhelm Nietzsche (translated)

当你在凝视深渊时，深渊也在凝视你。

Emission Theory of Vision

视觉发射理论。认为人之所以能够看到东西，是因为人眼发出的射线投射到了相应的物体上。虽然这是错误的，但我们可以从中得到启发。

"For every complex problem there is ananswer that is clear, simple, and wrong."——H.L.Mencken

每一个复杂的问题都有一个清晰、简单和错误的答案。

• Fundamentally misunderstanding visual perception. Adults' belief in visual emissions - PubMed (nih.gov)

Ray Casting

射线投射

1. Generate an image by casting one ray per pixel

   通过为每个像素投射一条光线生成图像

2. Check for shadows by sending a ray to the light

   通过向光源发送光线检查阴影

Ray Casting - Generating Eye Rays

从眼睛处发出射线

Pinhole Camera Model

针孔摄像机模型

从眼睛处发射射线，射线第一个打到的物体即为观察到的物体。

Ray Casting - Shading Pixels (Local Only)

给像素着色

所看到的点与光照方向，物体法线，材质等参数，就可以计算出观察到的像素的颜色。

Recursive (Whitted-Style) Ray Tracing

递归（怀特式）光线追踪。比之前的光线追踪算法还要高级一点。

"An improved Illumination model for shaded display" T. Whitted, CACM 1980

Time:

• VAX 11/780 (1979) 74m

  当时渲染了 74 分钟。

• PC (2006) 6s

• GPU (2012) 1/30s

眼睛发出的射线还会再反射到其他面上。

还有可能产生折射。

这些打到物体上的点再计算光照，如果中间有阻挡，则视为阴影部分。

Ray-Surface Intersection

射线-表面交点。现在该研究射线在表面上的交点是如何计算的。

Ray is defined by its origin and a direction vector

射线由其原点 $\mathbf{o}$ 和方向矢量 $\mathbf d$ 定义

Ray equation:

用射线发出的时间 $t$ 来定义这个射线：

$\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{d},\quad0\leq t<\infty$

Ray Intersection With Sphere

射线与球面的交点

Ray: $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{~d},\mathrm{~}0\leq t<\infty$

Sphere: $\mathbf p:(\mathbf p-\mathbf c)^2-R^2=0$

What is an intersection?

什么是交点？

The intersection $\mathbf p$ must satisfy bothray equation and sphere equation

交点 $\mathbf p$ 必须同时满足射线方程和球面方程，联立两个方程即可。

Solve for intersection:

$(\mathbf{o}+t\mathbf{~d}-\mathbf{c})^2-R^2=0$

$\begin{aligned} &at^2+bt+c=0,\text{ where} \\ &a=\mathbf{d}\cdot\mathbf{d} \\ &b=2(\mathbf{o}-\mathbf{c})\cdot\mathbf{d} \\ &\begin{aligned}c=(\mathbf{o}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})-R^2\end{aligned} \\ &\begin{aligned}t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{aligned} \end{aligned}$

就是一元二次方程求解了。

Ray Intersection With Implicit Surface

Ray 射线方程: $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{~d},\mathrm{~}0\leq t<\infty$

General implicit surface 一般隐式曲面: $\mathbf{p}:f(\mathbf{p})=0$

Substitute ray equation 将射线方程代入: $f(\mathbf{o}+t\mathbf{d})=0$

Solve for real, positive roots 求解实数正根:

对于这样的参数方程，对于计算机来说求解很容易！

Ray Intersection With Triangle Mesh

但是一般都用多边形面来表示一个几何，如何计算？

Why?

• Rendering: visibility, shadows, lighting…

  渲染：可见度、阴影、 光照...

• Geometry: inside/outside test

  几何：内部/外部测试

How to compute?

如何计算？

Let' s break this down:

让我们来分析一下：

• Simple idea: just intersect ray with each triangle

  简单的想法：只需将射线与每个三角形相交即可

• Simple, but slow (acceleration?)

  简单，但速度慢（加速？）

• Note: can have 0, 1 intersections (ignoring multiple intersections)

  注意：可以有 0 个、1 个交点 (忽略多个交点）

Ray Intersection With Triangle

Triangle is in a plane

三角形位于平面内

• Ray-plane intersection

  射线与平面相交

• Test if hit point is inside triangle

  测试命中点是否位于三角形内

Many ways to optimize…

优化方法有很多…

Plane Equation

平面方程

Plane is defined by normal vector and a point on plane

平面由法向量和平面上的一个点定义

Example:

Plane Equation (if $p$ satisfies it, then $p$ is on the plane):

平面方程（若 $p$ 满足该方程，则 $p$ 在平面上）：

Ray Intersection With Plane

Ray equation: $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{d},0\leq t<\infty$

Plane equation: $\mathbf{p}:(\mathbf{p}-\mathbf{p}^{\prime})\cdot\mathbf{N}=0$

Solve for intersection: 将两个方程联立，求解

$\text{Set }\mathbf{p}=\mathbf{r}(t)\text{ and solve for }t$

$\mathbf{(p-p^{\prime})\cdot N=(o+td-p^{\prime})\cdot N=0}$

$\begin{aligned}t&=\frac{(\mathbf{p'-o})\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{d}\cdot\mathbf{N}}&\textsf{Check: }0\leq t<\infty\end{aligned}$

Möller Trumbore Algorithm

A faster approach, giving barycentric coordinate directly

一种更快的方法（判断射线是否经过三角形面），直接给出重心坐标

Recall: How to determine if the "intersection" is inside the triangle?

回想一下：如何确定“交点”是否在三角形内部？

$\vec{\mathbf{O}}+t\vec{\mathbf{D}}=(1-b_1-b_2)\vec{\mathbf{P}}_0+b_1\vec{\mathbf{P}}_1+b_2\vec{\mathbf{P}}_2$

将射线打到平面上的点用三角形的重心坐标来表示。

Hint: $(1-b_1-b_2), b_1, b_2$ are barycentric coordinates!

提示：$(1-b_1-b_2)，b_1，b_2$ 是重心坐标！

$\begin{bmatrix}t\\b_1\\b_2\end{bmatrix}=\frac1{\vec{\mathbf{S}}_1\bullet\vec{\mathbf{E}}_1}\begin{bmatrix}\vec{\mathbf{S}}_2\bullet\vec{\mathbf{E}}_2\\\vec{\mathbf{S}}_1\bullet\vec{\mathbf{S}}\\\vec{\mathbf{S}}_2\bullet\vec{\mathbf{D}}\end{bmatrix}$

$\text{Cost}=(1 \text{div}, 27 \text{mul} ,17 \text{add})$

需要 1 次除，27 次乘，17 次加。

Accelerating Ray-Surface Intersection

加速计算射线-表面交点的方法

Ray Tracing – Performance Challenges

Simple ray-scene intersection

简单的光线场景交点

• Exhaustively test ray-intersection with every triangle

  详尽地测试每个三角形的光线交点

• Find the closest hit (i.e. minimum $t$)

  找到最接近的命中点（即最小 $t$）

Problem:

问题：

• Naive algorithm = #pixels ⨉ # traingles (⨉ #bounces)

  简单算法 = #像素 ⨉ #三角形（⨉ #反射）

• Very slow!

  非常慢！

For generality, we use the term objects instead of triangles later (but doesn' t necessarily mean entire objects)

非常慢！为了通用，我们稍后使用术语对象而不是三角形（但并不一定意味着整个对象）

像这几个超过一千多个面了，要是这么渲染的话性能太差了。

Bounding Volumes

Quick way to avoid intersections: bound complex object with a simple volume

避免上面计算相交的快速方法：用简单体积绑定复杂物体

• Object is fully contained in the volume

  物体完全包含在包围盒中

• If it doesn' t hit the volume, it doesn' t hit the object

  如果射线没有击中包围盒，它就不会击中物体，就不用后续计算。优化性能

  如果击中了，再老老实实计算吧。

• So test BVol first, then test object if it hit

  因此，首先测试 BVol，然后测试物体是否击中

Ray-Intersection With Box

射线与盒子的相交

Understanding: box is the intersection of 3 pairs of slabs

理解：包围盒是三个平面的相交部分。

Specifically:

具体来说：

We often use an Axis-Aligned Bounding Box (AABB)

我们经常使用轴对齐包围盒 (AABB)

i.e. any side of the BB is along either $x$, $y$, or $z$ axis

即 BB 的任何一侧都沿着 $x$、$y$ 或 $z$ 轴

Ray Intersection with Axis-Aligned Box

2D 空间中，计算射线在 $\mathrm x_0$ 和 $\mathrm x_1$ 的交点，得到一段线段。再$\mathrm y_0$ 和 $\mathrm y_1$ 的交点，得到另一段线段。两条线段取交集即为射线在包围盒中的范围。

2D example; 3D is the same! Compute intersections with slabs and take intersection of $t_{min}/t_{max}$ intervals.

2D 示例；3D 也一样！计算与板块的交点并取 $t_{min}/t_{max}$ 间隔的交点

How do we know when the ray intersects the box?

我们如何知道射线何时与盒子相交？

• Recall: a box (3D) = three pairs of infinitely large slabs

  回想一下：一个盒子（3D）= 三对无限大的平板

• Key ideas

  关键思想

  • The ray enters the box only when it enters all pairs of slabs

    只有当射线进入所有平板对时，它才会进入盒子

  • The ray exits the box as long as it exits any pair of slabs

    只要射线离开任何一对平板，它就会离开盒子

• For each pair, calculate the $t_{\text{min}}$ and $t_\text{max}$ (negative is fine)

  对于每一对，计算 $t_{\text{min}}$ 和 $t_\text{max}$（负数也可以）

• For the 3D box, $t_{\text{enter}} = \max{t_{\text{min}}}, t_{\text{exit}} = \min{t_{\text{max}}}$

  对于 3D 盒子，$t_{\text{enter}} = \max{t_{\text{min}}}，t_{\text{exit}} = \min{t_{\text{max}}}$

• If $t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}}$, we know the ray stays a while in the box (so they must intersect!)

  如果 $t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}}$，我们知道射线会在盒子中停留一段时间（所以它们一定相交！）

• However, ray is not a line

  但是，射线不是直线

  • Should check whether $t$ is negative for physical correctness!
  • 应检查 $t$ 是否为负数以确保物理正确性！

• What if $t_\text{exit} < 0$?

  • The box is "behind" the ray — no intersection!

    盒子在射线“后面” ——没有相交！

• What if $t_{\text{exit}} \ge 0$ and $t_{text{enter}} < 0$?

  • The ray' s origin is inside the box — have intersection!

    线的原点在盒子内部 — 有相交！

• In summary, ray and AABB intersect iff

  综上所述，射线与 AABB 相交，当且仅当

  • $t_{\text{enter}} < t_{\text{exit}}\ \&\&\ t_{\text{exit}} \ge 0$

Why Axis-Aligned?

General

$t=\frac{(\mathbf{p}^{\prime}-\mathbf{o})\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{d}\cdot\mathbf{N}}$

3subtractions, 6multiplies, 1 division

3 次加法，6 次乘法，1 次除法

Slabs perpendicular to x-axis

$t=\frac{\mathbf{p}^{\prime}_x-\mathbf{o}_x}{\mathbf{d}_x}$

1subtraction, 1 division

只需要一次加法，一次除法

Lecture 14: Ray Tracing 2 (Acceleration & Radiometry)

Announcements

公告

• GTC news: DLSS 2.0

  图形学前沿

  • https://zhuanlan.zhihu.com/p/116211994

• GTC news: RTXGI

  • https://developer.nvidia.com/rtxgi

• Personal feeling

  个人感受

  • Offline rendering techniques will soon become real-time

    离线渲染技术将很快成为实时技术

  • Current real-time rendering techniques will still be useful

    当前的实时渲染技术仍然有用（光栅化还没有那么快被淘汰）

Using AABBs to accelerate ray tracing

Uniform Spatial Partitions (Grids)

统一空间分割（网格）

Preprocess – Build Acceleration Grid

预处理 - 构建加速网格

1. Find bounding box

   给所有物体打一个包围盒

2. Create grid

   给这个包围盒用网格划分成多个小包围盒

3. Store each object in overlapping cells

   将每个对象存储在重叠的单元格中

Ray-Scene Intersection

Step through grid in ray traversal order

按射线遍历顺序逐步穿过网格

For each grid cell

对于每个网格单元

Test intersection with all objects stored at that cell

测试与存储在该单元格中的所有对象的交集。如果有交集，则检测到物体，再后续计算

Grid Resolution?

One cell

• No speedup

  网格大小的设定是个问题，如果网格太大，相当于没有加速

Too many cells

• Inefficiency due to extraneous grid traversal

  无关的网格遍历导致效率低下

Heuristic:

启发式：

• #cells = C * #objs
• C ≈ 27 in 3D

网格个数大概为物体的个数的 27 倍比较合适！

Uniform Grids – When They Work Well

Grids work well on large collections of objects that are distributed evenly in size and space

网格适用于大小和空间分布均匀的大型对象集合

Uniform Grids – When They Fail

统一网格--当它们失效时

"Teapot in a stadium" problem

当各个对象的大小分布和空间分布不均匀时，寄！”体育馆里的茶壶“的问题。

Spatial Partitions

Spatial Partitioning Examples

空间划分实例

Note: you could have these in both 2D and 3D. In lecture we will illustrate principles in 2D.

注意：您可以在二维和三维中使用这些内容。在课程中，我们将说明 2D 的原理。

在计算机图形学中，空间划分是一种常用的技术，用于加速对空间中对象的搜索和查询。它通过将空间划分为更小的区域或单元来减少搜索的复杂度。以下是一些空间划分的示例：

1. 网格 (Grid)：网格将空间划分为规则的网格单元，每个单元可以包含一个或多个对象。这种方法适用于静态场景，可以通过网格索引快速定位对象。
2. 八叉树 (Oct-Tree)：八叉树是三维空间的类似于四叉树的划分方法。它将空间递归地分成八个立方体，每个立方体可以继续分为八个子立方体，以此类推。八叉树通常用于三维图形渲染、体素化等方面。
3. kd-树 (kd-tree)：kd-树是一种多维空间划分方法，它根据数据点在各维度上的分布，递归地将空间划分为轴对齐的超矩形区域。kd-树常用于最近邻搜索等问题。（与八叉树相比，八叉树是一次 $x,y,z$ 轴地划分，kd-树 每次只往一个方向划分，划分次数与维度无关）
4. 二叉空间分区 (BSP-Tree)：与 kd-树相比，它斜着切。（其实没有对齐的好计算）

KD-Tree Pre-Processing

• KD-Tree原理详解 - 知乎 (zhihu.com)

先给空间 $A$ 竖的来一刀。得到蓝绿两个区域（叶子节点）。

将绿色区域作为 $B$，横的来一刀。得到新的绿和黄色两个叶子节点。

以此类推，一阵乱切。

Note: also subdivide nodes 1 and 2, etc.

注：还可细分节点 1 和 2 等。只是示意图是这么切的而已。

Data Structure for KD-Trees

KD 树的数据结构

Internal nodes store

内部节点存储

• split axis: x-, y-, or z-axis

  分割轴：X 轴、Y 轴或 Z 轴

• split position: coordinate of split plane along axis

  分割位置：分割平面沿轴的坐标

• children: pointers to child nodes

  子节点：指向子节点的指针

• No objects are stored in internal nodes

  内部节点中不存储任何对象

Leaf nodes store

叶节点存储

• list of objects

  对象列表

Traversing a KD-Tree

遍历 KD 树

射线穿过 $A$ 时，只需判断射线与各个叶子节点 $1,2,3,4,5$ 的相交关系即可。

Internal node: split

内部节点：分割

Assume it' s leaf node: intersect all objects

假设它是叶节点：与所有叶节点里的所有对象判断相交

Internal node: split

内部节点：分割

Leaf node: intersect all objects

遇到相交的叶节点，与所有叶节点里的所有对象判断相交

Intersection found

找到相交的对象

在计算机图形学领域，Object Partitions 和 Bounding Volume Hierarchy (BVH) 是两种常用的空间分割和组织技术，用于加速场景中对象的渲染和碰撞检测等操作。

1. Object Partitions： Object Partitions 是一种将场景中的对象按照位置或其他属性进行划分的技术。通常情况下，这种划分是基于空间的，将场景划分为多个区域或单元，每个单元包含一组对象。Object Partitions 技术的目的是通过合理的空间划分，减少需要处理的对象数量，从而提高渲染和碰撞检测等操作的效率。常见的 Object Partitions 技术包括 kd-树、Octree 等。
2. Bounding Volume Hierarchy (BVH)： Bounding volume hierarchy (BVH) 即层次包围体，在 BVH 中，所有的几何物体都会被包在 bounding volume 的叶子节点里面，bounding volume 外面继续包着一个更大的 bounding volume，递归地包裹下去，最终形成的根节点会包裹着整个场景。

KD-树目前用的比较少，主要是不好划分，而且一个对象有可能被放置在多个叶子节点里，导致重复计算。

Object Partitions & Bounding Volume Hierarchy (BVH)

Bounding Volume Hierarchy (BVH)

根节点包含整个场景。

在根节点里套包围盒。

我再套。

我还套！

Summary: Building BVHs

• Find bounding box

  查找边界框

• Recursively split set of objects in two subsets

  递归地将对象集合分成两个子集

• Recompute the bounding box of the subsets

  重新计算子集的边界框

• Stop when necessary

  必要时停止

• Store objects in each leaf node

  在每个叶节点中存储对象

Building BVHs

How to subdivide a node?

如何细分节点？

• Choose a dimension to split

  选择要分割的维度

• Heuristic #1: Always choose the longest axis in node

  启发式 1： 始终选择节点中最长的轴线

• Heuristic #2: Split node at location of median object

  启发式 2： 在中位对象的位置分割节点

Termination criteria?

终止标准？

• Heuristic: stop when node contains few elements (e.g. 5)

  启发式：当节点包含较少元素（如 5 个）时停止

Data Structure for BVHs

Internal nodes store

内部节点存储

• Bounding box

  边界框

• Children: pointers to child nodes

  子节点：指向子节点的指针

Leaf nodes store

叶节点存储

• Bounding box

  边界框

• List of objects

  对象列表

Nodes represent subset of primitives in scene

节点代表场景中基元的子集

• All objects in subtree

  子树上的所有对象

BVH Traversal

Intersect(Ray ray, BVH node) {
    if (ray misses node.bbox) return;
    if (node is a leaf node)
    test intersection with all objs;
    return closest intersection;
    hit1 = Intersect(ray, node.child1);
    hit2 = Intersect(ray, node.child2);
    return the closer of hit1, hit2;
}

递归地检测是否相交。

Spatial vs Object Partitions

Spatial partition (e.g.KD-tree)

空间分区（如 KD 树）

• Partition space into non-overlapping regions

  将空间划分为不重叠的区域

• An object can be contained in multiple regions

  一个对象可包含在多个区域中

Object partition (e.g. BVH)

对象分区（如 BVH）

• Partition set of objects into disjoint subsets

  将对象集合划分为互不相交的子集

• Bounding boxes for each set may overlap in space

  每个子集的边界框可能在空间上重叠

Basic radiometry (辐射度量学)

Advertisement: new topics from now on, scarcely covered in other graphics courses

广告：从现在开始，其他图形课程很少涉及的新主题

Radiometry — Motivation

Observation

• In assignment 3, we implement the Blinn-Phong model

  在作业 3 中，我们执行 Blinn-Phong 模型

• Light intensity $I$ is 10, for example

  例如，光强 $I$ 为 10

• But 10 what?

  但 10 是什么？连单位都没有

Do you think Whitted style ray tracing gives you CORRECT results?

你认为怀特风格的光线追踪能得出正确的结果吗？

All the answers can be found in radiometry

所有答案都可以在辐射测量中找到

• Also the basics of "Path Tracing"

  还有”路径跟踪“的基础知识

Radiometry

辐射测量

Measurement system and units for illumination

照明测量系统和单位

Accurately measure the spatial properties of light

精确测量光的空间特性

• New terms: Radiant flux, intensity, irradiance, radiance

  新术语：辐射通量、强度、辐照度、辐射度

Perform lighting calculations in a physically correct manner

以物理上正确的方式进行照明计算

My personal way of learning things:

我个人的学习方法：

• WHY, WHAT, then HOW

  为什么、是什么，然后是怎么做

Radiant Energy and Flux (Power)

辐射能量和通量（功率）

Definition: Radiant energy is the energy of electromagnetic radiation. It is measured in units of joules, and denoted by the symbol:

定义：辐射能是电磁辐射的能量。它以焦耳为单位，用符号表示：

$Q\mathrm{[J=Joule]}$

Definition: Radiant flux (power) is the energy emitted, reflected, transmitted or received, per unit time

定义：辐射通量（功率）是单位时间内发射、反射、传输或接收的能量

$\Phi\equiv\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\text{ [W = Watt] [lm = lumen]}^\star$

Flux – #photons flowing through a sensor in unit time

光通量--单位时间内流经传感器的光子数量

Important Light Measurements of Interest

重要的相关光测量值

Radiant Intensity

辐射强度

Definition: The radiant (luminous) intensity is the power per unit solid angle (?) emitted by a point light source.

定义： 辐射（发光）强度是点光源每单位立体角（?）这是个什么玩意

$I(\omega)\equiv\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\omega}$

$\left[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}}\right]\left[\frac{\mathrm{lm}}{\mathrm{sr}}=\mathrm{cd}=\mathrm{candela}\right]$

The candela is one of the seven SI base units.

坎德拉是国际单位制七个基本单位之一。

Angles and Solid Angles

Angle: ratio of subtended arc length on circle to radius

平面角：圆上被摄弧长与半径之比

• $\theta=\frac{l}{r}$

• Circle has $2\pi$ radians

  圆的弧度为 $2\pi$

Solid angle: ratio of subtended area on sphere to radius squared

实心角：球面上的入射面积与半径平方的比值

• $\Omega=\frac{A}{r^2}$

• Sphere has $4\pi$ steradians

Differential Solid Angles

这个实体角的求解公式：

$\begin{aligned}\mathrm{d}A=&(r\mathrm{d}\theta)(r\sin\theta\mathrm{d}\phi)\\=&r^2\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\end{aligned}$

$\mathrm{d}\omega=\frac{\mathrm{d}A}{r^2}=\sin\theta\mathrm{~d}\theta\mathrm{~d}\phi$

**Sphere: **$S^2$

$\begin{aligned}\Omega&=\int_{S^2}\mathrm{d}\omega\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\\&=4\pi\end{aligned}$

$\omega$ as a direction vector

将 $\omega$ 作为方向向量

Will use $\omega$ to denote a direction vector (unit length)

用 $\omega$ 表示方向向量（单位长度）

Isotropic Point Source

各向同性点源

$\begin{aligned}\Phi&=\int_{S^2}I\mathrm{~d}\omega\\&=4\pi I\end{aligned}$

$I=\frac\Phi{4\pi}$

Modern LED Light

Output: 815 lumens

输出：815 流明

(11W LED replacement for 60W incandescent)

​（11 瓦 LED 可替代 60 瓦白炽灯）

Radiant intensity?

辐射强度？

Assume isotropic:

Intensity = 815 lumens / 4pi sr = 65 candelas

Lecture 15 Ray Tracing 3 (Light Transport & Global Illumination)

Reviewing Concepts

Irradiance

辐照度

Definition: The irradiance is the power per unit area incident on a surface point.

定义：辐照度是照射在表面某一点的每单位面积的功率。

$E(\mathrm x)\equiv\frac{\text d\Phi(\mathrm x)}{\mathrm d A}$

$\left[\frac{W}{m^2}\right]\left[\frac{\text{lm}}{m^2}=\text{lux}\right]$

Lambert' s Cosine Law

兰伯特余弦定理

Irradiance at surface is proportional to cosine of angle between light direction and surface normal.

表面辐照度与光线方向和表面法线之间的角度的余弦成正比。

(Note: always use a unit area, the cosine applies on $\Phi$)

（注意：始终使用单位面积，余弦适用于 $\Phi$）

Why Do We Have Seasons?

为什么我们会有季节？因为太阳光到地球各个地方的夹角不同。

Earth' s axis of rotation: ~23.5° off axis

Correction: Irradiance Falloff

校正：辐照度衰减

Assume light is emitting power in a uniform angular distribution

假设光以均匀的角度分布发射功率

Compare irradiance at surface of two spheres:

比较两个球体表面的辐照度：

Radiance

辐射

Radiance is the fundamental field quantity that describes the distribution of light in an environment

辐射度是描述环境中光分布的基本场量

• Radiance is the quantity associated with a ray

  辐射度是与射线相关的量

• Rendering is all about computing radiance

  渲染就是计算辐射度

Definition: The radiance (luminance) is the power emitted, reflected, transmitted or received by a surface, per unit solid angle, per projected unit area.

定义：辐射度（亮度）是表面在单位立体角、单位投影面积上发射、反射、透射或接收的功率。

$L(\mathrm{p},\omega)\equiv\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\mathrm{p},\omega)}{\mathrm{d}\omega\mathrm{d}A\cos\theta}$

$\cos\theta$ accounts for projected surface area

$\cos\theta$ 表示投影表面积

$\left[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{sr}\mathrm{m}^{2}}\right]\left[\frac{\mathrm{cd}}{\mathrm{m}^{2}}=\frac{\mathrm{lm}}{\mathrm{sr}\mathrm{m}^{2}}=\mathrm{nit}\right]$

Definition: power per unit solid angle per projected unit area.

定义：单位投影面积上单位立体角的功率。

$L(\mathrm{p},\omega)\equiv\frac{\mathrm{d}^2\Phi(\mathrm{p},\omega)}{\mathrm{d}\omega\mathrm{d}A\cos\theta}$

Recall

• Irradiance: power per projected unit area

  辐照度：单位投影面积的功率

• Intensity: power per solid angle

  强度：单位立体角的功率

So

• Radiance: Irradiance per solid angle

  辐射度：单位立体角的辐照度

• Radiance: Intensity per projected unit area

  辐射度：单位投影面积的强度

Incident Radiance

入射辐射

Incident radiance is the irradiance per unit solid angle arriving at the surface.

入射辐射度是到达表面的每单位立体角的辐射度。

$L(\mathrm{p},\omega)=\frac{\mathrm{d}E(\mathrm{p})}{\mathrm{d}\omega\cos\theta}$

i.e. it is the light arriving at the surface along a given ray (point on surface and incident direction).

即，它是沿给定射线（表面上的点和入射方向）到达表面的光。

Exiting Radiance

Exiting surface radiance is the intensity per unit projected area leaving the surface.

出射表面辐射度是离开表面的每单位投影面积的强度。

$L(\mathrm{p},\omega)=\frac{\mathrm{d}I(\mathrm{p},\omega)}{\mathrm{d}A\cos\theta}$

e.g. for an area light it is the light emitted along a given ray (point on surface and exit direction).

例如，对于区域光来说，它是沿给定射线（表面上的点和出射方向）发射的光。

Irradiance vs. Radiance

辐照度与辐射度

Irradiance: total power received by area $\text dA$

辐照度：区域 $\text dA$ 接收的总功率

Radiance: power received by area $\text dA$ from “direction” $\text d\omega$

辐射度：区域 $\text dA$ 从“方向” $\text d\omega$ 接收的功率

$\begin{aligned}dE(\mathrm{p},\omega)&=L_i(\mathrm{p},\omega)\cos\theta\mathrm{d}\omega\\E(\mathrm{p})&=\int_{H^2}L_i(\mathrm{p},\omega)\cos\theta\mathrm{d}\omega\end{aligned}$

Unit Hemisphere 单位半球: $H^2$

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)

双向反射分布函数 (BRDF)

Reflection at a Point

点的反射

Radiance from direction $\omega_i$ turns into the power $E$ that $\text dA$ receives Then power $E$ will become the radiance to any other direction $\omega_o$

来自方向 $\omega_i$ 的辐射度变为 $\text dA$ 接收的功率 $E$ 然后功率 $E$ 将成为到任何其他方向 $\omega_o$ 的辐射度

Differential irradiance incoming 入射光的差异辐照度: $\text dE(\omega_i)=L(\omega_i)cos\theta_i\text d\omega_i$

Differential radiance exiting (due to $\text d E(\omega_1)$ )差分辐射退出（由于 $\text d E(\omega_1)$ ）：$\text d L_r(\omega_r)$

BRDF

The Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF) represents how much light is reflected into each outgoing direction $\omega_r$ from each incoming direction

双向反射分布函数 (BRDF) 表示从每个入射方向反射到每个出射方向 $\omega_r$ 的光量

$f_r(\omega_i\to\omega_r)=\frac{\mathrm{d}L_r(\omega_r)}{\mathrm{d}E_i(\omega_i)}=\frac{\mathrm{d}L_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i}\left[\frac{1}{\mathrm{sr}}\right]$

The Reflection Equation

反射方程

$L_r(\mathrm{p},\omega_r)=\int_{H^2}f_r(\mathrm{p},\omega_i\to\omega_r)L_i(\mathrm{p},\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i$

Challenge: Recursive Equation

挑战：递归方程

Reflected radiance depends on incoming radiance

反射辐射取决于入射辐射

$L_r(\mathrm{p},\omega_r)=\int_{H^2}f_r(\mathrm{p},\omega_i\to\omega_r)L_i(\mathrm{p},\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i$

• $L_r(\mathrm{p},\omega_r)$ reflected radiance 反射辐射
• $L_{i}(\mathrm{p},\omega_{i})$ incoming radiance 入射辐射

But incoming radiance depends on reflected radiance (at another point in the scene)

但入射辐射取决于反射辐射（在场景中的另一点）

The Rendering Equation

渲染方程

Re-write the reflection equation 重写反射方程：

$\begin{aligned}L_r(\text{p},\omega_r)=\int_{H^2}f_r(\text{p},\omega_i\to\omega_r)L_i(\text{p},\omega_i)\cos\theta_i\text{d}\omega_i\end{aligned}$

by adding an Emission term to make it general!

通过添加发射项使其变得通用！

The Rendering Equation

$\begin{aligned}L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n\cdot\omega_i)\mathrm{d}\omega_i\end{aligned}$

How to solve? Next lecture!

Note: now, we assume that all directions are pointing outwards!

注意：现在，我们假设所有方向都指向外面（$\Omega^+$）！

Understanding the rendering equation

理解渲染方程

对于单个点光源：

$L_r(x,\omega_r)=L_e(x,\omega_r)+L_i(x,\omega_i)~f(x,\omega_i,\omega_r)~(\omega_i,n)$

• $L_r(x,\omega_r)$

  Reflected Light (Output Image) 反射光（输出图像）

• $L_e(x,\omega_r)$

  Emission

  自发光

• $L_i(x,\omega_i)$

  Incident Light (from light source)

  入射光（来自光源）

• $f(x,\omega_i,\omega_r)$

  BRDF

• $(\omega_i,n)$

  Cosine of Incident angle

  入射角余弦

多个点光源，求和。Sum over all light sources.

$L_r(x,\omega_r)=L_e(x,\omega_r)+\sum L_i(x,\omega_i)\left.f(x,\omega_i,\omega_r)\right.(\omega_i,n)$

平面光源，使用积分。Replace sum with integral.

$L_r(x,\omega_r)=L_e(x,\omega_r)+\int_\Omega L_i(x,\omega_i)f(x,\omega_i,\omega_r)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i$

Surfaces (interreflection)

表面（相互反射）

这是当年那个论文渲染出来的结果。

Rendering Equation as Integral Equation

将方程渲染为积分方程

$L_r(x,\omega_r)=L_e(x,\omega_r)+\int_\Omega L_r(x^{\prime},-\omega_i)f(x,\omega_i,\omega_r)\cos\theta_id\omega_i$

要是能看到一个物体，要么它自身能发光，要么它能反射出其它光源发出的光。

Is a Fredholm Integral Equation of second kind [extensively studied numerically] with canonical form

是具有规范形式的第二类 Fredholm 积分方程 [经过广泛的数值研究]

$l(u)=e(u)+\int l(v)K(u,v)dv$

$K(u,v)dv$$ 是 Kernel of equation Light Transport Operator.

$L=E+KL$

Can be discretized to a simple matrix equation [or system of simultaneous linear equations] ($L$, $E$ are vectors, $K$ is the light transport matrix)

可以离散化为一个简单的矩阵方程[或联立线性方程组]（$L$、$E$为向量，$K$为光传输矩阵）

Ray Tracing and extensions

光线追踪和扩展

• General class numerical Monte Carlo methods

  通用类数值蒙特卡罗方法

• Approximate set of all paths of light in scene

  场景中所有光路的近似集

$\begin{aligned}L&=E+KL\\IL-KL&=E\\(I-K)L&=E\\L&=(I-K)^{-1}E\end{aligned}$

在矩阵运算中，$(I-K)^{-1}$ 有类似泰勒公式一样的性质：Binomial Theorem 二项式定理