欧拉公式 Euler's formula

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^t} = {\color{Blue} e^t}$

将 ${\color{Red}t}$ 看作时间， ${\color{Green} e^t}$ 看作质点的速度， ${\color{Blue} e^t}$ 看作质点的位置。此时速度与位置符号相同。

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{2t}} = {\color{Blue} 2\cdot e^{2t}}$

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{-0.5t}} = {\color{Blue} -0.5\cdot e^{-0.5t}}$

此时速度与位置方向相反。质点随时间趋于原点。

$\frac{d}{d{\color{Red}t}}{\color{Green} e^{it}} = {\color{Blue} i\cdot e^{it}}$

在复平面中，速度与位置方向垂直。质点不断旋转。

得到欧拉公式：

$e^{ix}=\cos x + i\sin x$

当 $x=\pi$ 时：

$e^{i\pi}+1=0$

傅里叶级数 Fouriter Series

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum^{N}_{n=1}A_n\cdot \cos\left(\frac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right)$

$s_N(x)=\sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}}$

如果把一副二维矢量图(svg)看作是一个复平面的函数 $s_N(x)$ ，则这个函数可以用多个旋转的圆 $c_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}}$ 复合来表示。（不知道咋表达orz） $c_n$ 是一个复数，表示这个圆的初始状态（半径，方向）。 $n$ 表示这个圆的旋转速率。