第 2 章 上下文无关文法

上下文无关文法（context-free grammar, CFG），能够描述某些应用广泛的具有递归结构特征的语言。

2.1 上下文无关文法概述

• 替换规则：

$A\to 0A1$

$A\to B$

$B\to \#$

• 变量：$A,B$
• 终止符：$0,1,\#$
• 起始变元：$A$

获取一个字符串的替换过程叫派生。

例如字符串 $000\#111$ 的过程如下：

$A\Rightarrow 0A1 \Rightarrow 00A11 \Rightarrow 000A111 \Rightarrow 000B111 \Rightarrow 000\#111$

可用语法分析树更加形象地描绘这一派生过程。

用 $L(G_1)$ 表示文法 $G_1$ 的语言，可以看出 $L(G_1)=\{0^n\#1^n|n\ge 0\}$。

能够用上下文无关文法生成的语言称为上下文无关语言（CFL）

2.1.1 上下文无关文法的形式化定义

上下文无关文法是一个 4 元组$(V,\Sigma,R,S)$，且

1. $V$ 是一个有穷集合，称为变元集。
2. $\Sigma$ 是一个与 $V$ 不相交的有穷集合，称为终结符集。
3. $R$ 是一个有穷规则集，每条规则由一个变元和一个由边缘及终结符组成的字符串构成。
4. $S\in V$ 是起始变元。

2.1.3 设计上下文无关文法

为得到语言 $\{0^n1^n|n\ge 0\}\cup\{1^n0^n|n\ge 0\}$ 的语法，先构造语言 $\{0^n1^n|n\ge 0\}$ 的文法

$S_1\to 0S_1|\varepsilon$

和语言 $\{1^n0^n|n\ge 0\}$ 的文法

$S_2\to1S_20|\varepsilon$

然后加上规则 $S\to S_1|S_2$，得到所求的文法：

$S\to S_1|S_2$

$S_1\to 0S_1|\varepsilon$

$S_2\to1S_20|\varepsilon$

化繁为简，利用正则，考察字串，利用递归。

---

任何正则语言都可以用 CFG 描述。

• 如果 $\delta(q_i,a)=q_j$，则增加规则 $V_i\to aV_j$
• 如果 $q_i$ 是接收状态，则增加规则 $V_i\to \varepsilon$
• 如果 $q_0$ 是起始状态，则 $V_0$ 是起始变元。

2.1.5 乔姆斯基范式

$A\to BC$

$A\to a$

其中，$a$ 是任意的终结符，$A$、$B$ 和 $C$ 是任意的变元，且 $B$ 和 $C$ 不能是起始变元。此外，允许规则 $S\to \varepsilon$，其中 $S$ 是起始变元。

2.2 下推自动机

下推自动机（pushdown automata）（PDA）

PDA = NFA + 栈（无限）——在控制器的有限存储量之外提供了附加的存储，使得 PDA 能够识别某些非正则语言。

能力上与上下文无关文法等价——在证明一个语言是上下文无关的时候有两种选择：

• 给出生成他的上下文无关文法。
• 给出识别它的 PDA。

2.2.1 下推自动机的形式化定义

下推自动机是一个 6 元组 $(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,F)$，这里 $Q,\Sigma,\Gamma$ 和 $F$ 都是有穷集合，并且：

1. $Q$ 是状态集。

2. $\Sigma$ 是输入字母表。

3. $\Gamma$ 是栈字母表。

4. $\delta:Q\times \Sigma_\varepsilon\times\Gamma_\epsilon\to\mathcal{P}(Q\times\Gamma_\varepsilon)$ 是转移函数。

5. $q_0\in Q$ 是起始状态。

6. $F\subseteq Q$ 是接收状态集。

2.2.2 下推自动机举例

语言 $\{0^n1^n|n\ge0\}$，NFA 无法识别，但是 PDA 可以。

令 $M_1=(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_1,F)$，其中：

• $Q=\{q_1,q_2,q_3,q_4\}$

• $\Sigma=\{0,1\}$

• \Gamma=\{0,\}$

• $F=\{q_1,q_4\}$

$\delta$ 由下表给出，表中空白项表示 $\varnothing$:

2.2.3 与上下文无关文法的等价性

PDA 与 CFG 之间的等价性：如果一个语言是上下文无关的，则存在一台下推自动机识别它。