前言
- 买了一本迪哥写的《人工智能数学基础》,在掌握了Python的基本用法后,着手学习其中的内容
- 里面很多都是考研数学的内容,让我意识到数学没有想象中的那么“没用”
- Python有很多封装好的数学工具,正文中有大量的数学公式使用了LateX的语句,参考在线LaTeX公式编辑器-编辑器 (latexlive.com),很遗憾没能在本科期间认识到它们
- 有些LateX语句并不能正确地渲染, 先凑合着用吧
1 基础篇
2 高等数学基础
例2.6 求$\lim_{x \to 1}\frac{x ^ 2 - 1}{x - 1}$ 的极限
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$\displaystyle 2$
例2.11 求$y = arcsin\sqrt{sinx}$的导数
$y'=\frac{1}{\sqrt{1-sinx} }\cdot\frac{1}{2\sqrt{sinx}}\cdot{cosx}=\frac{cosx}{2\sqrt{sinx-sin^2x}}$
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$\displaystyle \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{1 - \sin{\left(x \right)}} \sqrt{\sin{\left(x \right)}}}$
例2.12 求$f(x,y)=x^2+3xy+y^2$在点$(1,2)$处的偏导数
$f_{x}(x,y)=2x+3y$
$f _{y}(x,y)=3x+2y$
$ f _{x}(1,2)=2x+3y| _{y=2}^{x=1}=8$
$f _{y}(1,2)=3x+2y| _{y=2}^{x=1}=7$
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$\displaystyle 2 x + 3 y$
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$\displaystyle 3 x + 2 y$
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$\displaystyle 8.0$
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$\displaystyle 7.0$
2.6 方向导数 2.7 梯度
函数在某点的梯度是一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致
$gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\textbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\textbf{j} $
$\frac{\partial f}{\partial l}=gradf\cdot \frac{\overrightarrow{l}}{\left | \overrightarrow{l} \right | }$
用梯度gradf点乘l的单位向量就得到方向导数, 这是计算方向导数最简便的方法
例2.15 用Python编程实现梯度下降法求解$f(x,y)=x-y+2x^2+2xy+y^2$的最小值
使用常规方法:
$z=x-y+2x^2+2xy+y^2$
$z'_{x}=1+4x+2y$
$z'_{y}=-1+2x+2y$
求得驻点$(-1,\frac{3}{2})$
$A=z''_{xx}| _{y=\frac{3}{2}}^{x=-1}=4$
$B=z''_{xy}| _ {y=\frac{3}{2}}^{x=-1}=2$
$C=z''_{yy}| _ {y=\frac{3}{2}}^{x=-1}=2$
$AC-B^2>0$
$A>0$
原函数在$(-1,\frac{3}{2})$处具有极小值
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(x, y)~(-0.9993608094022046,1.498965767887478)
2.9.5 高手点拨: 求导的三种方式
已知$f(x)=x^5+2x^4+3x^2+5$, 求$f'(1)$
使用Sympy的diff函数
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$\displaystyle 19.0$
使用scipy.misc模块下的derivative函数
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18.999999999991246
使用NumPy模块里的poly1d构造$f(x)$
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19.0
|
19.0
2.10 习题
$lim_{x\to1}sin(lnx)$
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$\displaystyle 0$
$lim_{x\to8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}$
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$\displaystyle \frac{1}{12}$
求$y=x^4-2x^3+5sinx+ln3$的导数
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$\displaystyle 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5 \cos{\left(x \right)}$
求$z=(3x^2+y^2)^{4x+2y}$在点$(1,2)$的偏导数
$lnz=(4x+2y)\cdot ln(3x^2+y^2)$
$\frac1zdz=\left[4ln(3x^2+y^2)+\frac{24x^2+12xy}{3x^2+y^2}\right]dx+\left[2ln(3x^2+y^2)+\frac{8xy+2y^2}{3x^2+y^2}\right]dy$
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$\displaystyle \left(3 x^{2} + y^{2}\right)^{4 x + 2 y} \left(\frac{6 x \left(4 x + 2 y\right)}{3 x^{2} + y^{2}} + 4 \log{\left(3 x^{2} + y^{2} \right)}\right)$
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$\displaystyle 84401203.0927369$
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$\displaystyle \left(3 x^{2} + y^{2}\right)^{4 x + 2 y} \left(\frac{2 y \left(4 x + 2 y\right)}{3 x^{2} + y^{2}} + 2 \log{\left(3 x^{2} + y^{2} \right)}\right)$
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$\displaystyle 48788945.5463684$
求方向导数和梯度
求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,2)$处沿点$(1,2)$到点$(2,2+\sqrt{3})$方向的方向导数, 以及在点$(1,2)$的梯度
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array([2., 4.])
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array([1. , 3.46410162])
3 微积分
例3.6 定积分
应用SciPy科学计算库求$\int_{0}^{3} cos^2(e^x)dx$
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(1.296467785724373, 1.397797133112089e-09)
输出结果(积分值, 误差)
例3.7 二重积分
求$\iint_{D}e^{-x^x-y^2}dxdy$, 其中$D=\left \{ (x,y) | 0 \le x \le 10,0 \le y \le 10\right \}$
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(0.7853981633974476, 1.375309851021853e-08)
例3.8 定积分近似求解
用定义法求$\int_{0}^{3} cos^2(e^x)dx$的近似解
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0.944822326405313
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1.2843391540917448
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1.2960750567338157
不定积分
$ \int lnx $
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$\displaystyle x \log{\left(x \right)} - x$
3.8习题
$\int _{1}^{2} x^2 + \frac {1}{x^4}dx$
$ =(\frac {1}{3}x^3 - \frac {1}{3}x^{-3}) | _{1}^{2}$
$ = \frac {21}{8}$
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(2.625, 2.914335439641036e-14)
$ \int _{-1}^{0}\frac {3x^4+3x^2+1}{x^2+1}dx$
$ =\int _{-1}^{0}3x^2+\frac {1}{1+x^2}dx$
$ = (x^3 + arctanx)| _{-1}^{0} $
$ = 1 + \frac{\pi}{4} $
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(1.7853981633974483, 1.9821901491273144e-14)
利用定积分的定义计算极限:
$ lim _{n \to \infty}\frac {1^{p}+2^{p}+...+n^{p}}{n^{p+1}}$
$ = lim _{n \to \infty}\frac {\sum_{i=1}^{n}i^p}{n^{p+1}} $
$ = \frac{1}{n} lim _{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\frac{i}{n})^p $
$ = \int _{0}^{1}x^pdx $
$ = \frac {1}{p+1} $
4 泰勒公式与拉格朗日乘子法
指对连, 三角断,
三角对数隔一换, 三角指数有感叹
例4.7 根据$e^x$的$n$次泰勒多项式展开式, 计算$e$的近似值
$ e\approx 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}$
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n | e | |
---|---|---|
0 | 1.0 | 2.000000 |
1 | 2.0 | 2.500000 |
2 | 3.0 | 2.666667 |
3 | 4.0 | 2.708333 |
4 | 5.0 | 2.716667 |
5 | 6.0 | 2.718056 |
6 | 7.0 | 2.718254 |
7 | 8.0 | 2.718279 |
8 | 9.0 | 2.718282 |
9 | 10.0 | 2.718282 |
例 4.13 $sinx$的$n$阶泰勒多项式
$sinx = x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} - \frac {x^7}{7!} + ...+ (-1)^{m-1}\frac {x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x)$
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np.sin(x) | fsin(x) | error | |
---|---|---|---|
-20 | -0.912945 | 5364.411846 | 5.365325e+03 |
-19 | -0.149877 | 666.994385 | 6.671443e+02 |
-18 | 0.750987 | 74.739042 | 7.398806e+01 |
-17 | 0.961397 | 8.185042 | 7.223645e+00 |
-16 | 0.287903 | 0.899283 | 6.113793e-01 |
-15 | -0.650288 | -0.606249 | 4.403901e-02 |
-14 | -0.990607 | -0.987967 | 2.640574e-03 |
-13 | -0.420167 | -0.420039 | 1.282664e-04 |
-12 | 0.536573 | 0.536578 | 4.880595e-06 |
-11 | 0.999990 | 0.999990 | 1.394300e-07 |
-10 | 0.544021 | 0.544021 | 2.831679e-09 |
-9 | -0.412118 | -0.412118 | 3.790196e-11 |
-8 | -0.989358 | -0.989358 | 2.858824e-13 |
-7 | -0.656987 | -0.656987 | 3.441691e-15 |
-6 | 0.279415 | 0.279415 | 3.497203e-15 |
-5 | 0.958924 | 0.958924 | -2.775558e-15 |
-4 | 0.756802 | 0.756802 | -6.661338e-16 |
-3 | -0.141120 | -0.141120 | 1.110223e-16 |
-2 | -0.909297 | -0.909297 | 0.000000e+00 |
-1 | -0.841471 | -0.841471 | 0.000000e+00 |
0 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000e+00 |
4.9 习题
$lim _{x \to 0}(\frac {sinx-xcosx}{sin^3x})$
$=lim _{x \to 0}\frac {x-\frac{1}{6}x^3-x(1-\frac{1}{2}x^2)}{x^3}$
$=lim _{x \to 0}\frac {-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^3}{x^3}$
$=\frac{1}{3}$
|
$\displaystyle \frac{1}{3}$