正文

3.1 从感知机到神经网络

3.1.1 神经网络的例子

我们把最左边的一列称为输入层，最右边的一列称为输出层，中间的一列称为中间层。中间层有时也称为隐藏层。“隐藏”一词的意思是，隐藏层的神经元（和输入层、输出层不同）肉眼看不见。另外，本书中把输入层到输出层依次称为第 0 层、第 1 层、第 2 层（层号之所以从 0 开始，是为了方便后面基于 Python 进行实现）。

第 0 层对应输入层，第 1 层对应中间层，第 2 层对应输出层。

上图中的网络一共由 3 层神经元构成，但实质上只有 2 层神经元有权重，因此将其称为“2 层网络”。请注意，有的书也会根据构成网络的层数，把上图的网络称为“3 层网络”。本书将根据实质上拥有权重的层数（输入层、隐藏层、输出层的总数减去 1 后的数量）来表示网络的名称。

3.1.2 复习感知机

将式子

$y=\left\{\begin{matrix}0\quad (b+w_1x_1+w_2x_2\le 0)\\1\quad(b+w_1x_1+w_2x_2>0)\end{matrix}\right.$

改写为更加简洁的式子，引入新函数 $h(x)$ ： $y=h(b+w_1x_1+w_2x_2)$ ，其中

$h(x)=\left\{\begin{matrix}0\quad(x\le 0)\\1\quad (x>0)\end{matrix}\right.$

输入信号的总和会被函数 $h(x)$ 转换，转换后的值就是输出 $y$ 。然后，上式所表示的函数 $h(x)$ ，在输入超过 0 时返回 1，否则返回 0。

3.1.3 激活函数登场

刚才登场的 $h(x)$ 函数会将输入信号的总和转换为输出信号，这种函数一般称为激活函数（activation function）。

$a=b+w_1x_1+w_2x_2\\y=h(a)$

上图表示神经元的○中明确显示了激活函数的计算过程，即信号的加权总和为节点 $a$ ，然后节点 $a$ 被激活函数 $h()$ 转换成节点 $y$ 。本书中，“神经元”和“节点”两个术语的含义相同。这里，我们称 $a$ 和 $y$ 为“节点”，其实它和之前所说的“神经元”含义相同。

3.2 激活函数

在激活函数的众多候选函数中，感知机使用了阶跃函数。那么，如果感知机使用其他函数作为激活函数的话会怎么样呢？实际上，如果将激活函数从阶跃函数换成其他函数，就可以进入神经网络的世界了。

3.2.1sigmoid 函数

神经网络中经常使用的一个激活函数：sigmoid 函数（sigmoid function）

$h(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)}$

3.2.2 阶跃函数的实现

python

def step_function(x):
    """
    阶跃函数（允许参数取 Numpy 数组的形式）
    """
    y = x > 0
    return y.astype(int)

对 NumPy 数组进行不等号运算后，数组的各个元素都会进行不等号运算，生成一个布尔型数组。这里，数组 x 中大于 0 的元素被转换为 True，小于等于 0 的元素被转换为 False，从而生成一个新的数组 y。数组 y 是一个布尔型数组，但是我们想要的阶跃函数是会输出 int 型的 0 或 1 的函数。因此，需要把数组 y 的元素类型从布尔型转换为 int 型。

python

import numpy as np
 
x = np.array([-1.0, 1.0, 2.0])
y = x > 0
y

array([False,  True,  True])

python

y = y.astype(int)
y

array([0, 1, 1])

3.2.3 阶跃函数的图形

python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def strp_function(x):
    return np.array(x > 0, dtype=int)
 
x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = step_function(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1)  # 指定 y 轴的范围
plt.show()

3.2.4sigmoid 函数的实现

python

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

python

x = np.array([-1.0, 1.0, 2.0])
sigmoid(x)  # 根据 NumPy 的广播功能，如果在标量和 NumPy 数组之间进行运算，则标量会和 NumPy 数组的各个元素进行运算。

array([0.26894142, 0.73105858, 0.88079708])

python

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = sigmoid(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.show()

3.2.6 非线性函数

神经网络的激活函数必须使用非线性函数。
- 使用线性函数的话，加深神经网络的层数就没有意义了。
- 为了发挥叠加层所带来的优势，激活函数必须使用非线性函数。

3.2.7 ReLU 函数

在神经网络发展的历史上，sigmoid 函数很早就开始被使用了，而最近则主要使用**ReLU（Rectified Linear Unit）**函数。

$h(x)=\left\{\begin{matrix}x\quad(x>0)\\0\quad(x\le0)\end{matrix}\right.$

python

def relu(x):
    return np.maximum(0, x)

python

x = np.arange(-5.0, 5.0, 0.1)
y = relu(x)
plt.plot(x, y)
plt.ylim(-0.1, 5)
plt.show()

3.3 多维数组的运算

3.3.3 神经网络的内积

上图中的简单神经网络为对象。这个神经网络省略了偏置和激活函数，只有权重。

$\mathbf{W} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

实现该神经网络时，要注意 $\mathbf{X}$ 、 $\mathbf{W}$ 、 $\mathbf{Y}$ 的形状，特别是 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{W}$ 的对应维度的元素个数是否一致，这一点很重要。

python

X = np.array([1, 2])
W = np.array([[1, 3, 5], [2, 4, 6]])
Y = np.dot(X, W)
Y

array([ 5, 11, 17])

使用np.dot（多维数组的点积），可以一次性计算出 $\mathbf{Y}$ 的结果。这意味着，即便 $\mathbf{Y}$ 的元素个数为 100 或 1000，也可以通过一次运算就计算出结果！如果不使用 np.dot，就必须单独计算 $\mathbf{Y}$ 的每一个元素（或者说必须使用for语句），非常麻烦。因此，通过矩阵的乘积一次性完成计算的技巧，在实现的层面上可以说是非常重要的。

3.4 3 层神经网络的实现

3.4.1 符号确认

3.4.2 各层间信号传递的实现

$a^{(1)}_1=w^{(1)}_{11}x_1+w^{(1)}_{12}x_2+b^{(1)}_1$

如果使用矩阵的乘法运算，则可以将第 1 层的加权和表示成下面的式：

$\mathbf{A}^{(1)}=\mathbf{XW}^{(1)}+\mathbf{B}^{(1)}$

其中， $\mathbf{A}^{(1)}$ 、 $\mathbf{X}$ 、 $\mathbf{B}^{(1)}$ 、 $\mathbf{W}^{(1)}$ 如下所示：

$\mathbf A^{(1)}=\begin{pmatrix} a^{(1)}_1 & a^{(1)}_2 & a^{(1)}_3 \end{pmatrix}$ ， $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{B}^{(1)} = \begin{pmatrix} b^{(1)}_1 & b^{(1)}_2 & b^{(1)}_3 \end{pmatrix}$

$\mathbf{W}^{(1)} = \begin{pmatrix} w^{(1)}_{11} & w^{(1)}_{21} & w^{(1)}_{31} \\ w^{(1)}_{12} & w^{(1)}_{22} & w^{(1)}_{32}\end{pmatrix}$

输入层到第 1 层的信号传递：

python

import numpy as np
 
X = np.array([1.0, 0.5])
W1 = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
B1 = np.array([[0.1, 0.2, 0.3]])
 
print(W1.shape)
print(X.shape)
print(B1.shape)

(2, 3)
(2,)
(1, 3)

python

A1 = np.dot(X, W1) + B1
A1

array([[0.3, 0.7, 1.1]])

python

Z1 = sigmoid(A1)
Z1

array([[0.57444252, 0.66818777, 0.75026011]])

实现第 1 层到第 2 层的信号传递：

python

W2 = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
B2 = np.array([0.1, 0.2])
 
print(Z1.shape)
print(W2.shape)
print(B2.shape)

(1, 3)
(3, 2)
(2,)

python

A2 = np.dot(Z1, W2) + B2
Z2 = sigmoid(A2)

实现第 2 层到输出层的信号传递：

python

def identity_function(x):
    """
    这里我们定义了 identity_function()函数（也称为“恒等函数”），并将
    其作为输出层的激活函数。恒等函数会将输入按原样输出，因此，这个例子
    中没有必要特意定义 identity_function()。这里这样实现只是为了和之前的
    流程保持统一。
    """
    return x
 
W3 = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
B3 = np.array([0.1, 0.2])
 
A3 = np.dot(Z2, W3) + B3
Y = identity_function(A3)  # 或 Y = A3

输出层的激活函数用 $\sigma()$ 表示，不同于隐藏层的激活函数 $h()$ 。

输出层所用的激活函数，要根据求解问题的性质决定。

一般地，回归问题可以使用恒等函数，二元分类问题可以使用 sigmoid 函数
多元分类问题可以使用 softmax 函数

3.4.3 代码实现小结

python

def init_network():
    """
    按照神经网络的实现惯例，只把权重记为大写字母 W1，其他的（偏置或中间结果等）都用小写字母表示。
    """
    network = {}
    network['W1'] = np.array([[0.1, 0.3, 0.5], [0.2, 0.4, 0.6]])
    network['b1'] = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
    network['W2'] = np.array([[0.1, 0.4], [0.2, 0.5], [0.3, 0.6]])
    network['b2'] = np.array([0.1, 0.2])
    network['W3'] = np.array([[0.1, 0.3], [0.2, 0.4]])
    network['b3'] = np.array([0.1, 0.2])
    
    return network
 
 
def forward(network, x):
    """
    表示的是从输入到输出方向的传递处理
    """
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = identity_function(a3)
    return y
 
 
network = init_network()
x = np.array([1.0, 0.5])
y = forward(network, x)
print(y)

[0.31682708 0.69627909]

3.5 输出层的设计

3.5.1 恒等函数和 softmax 函数

$y_k=\frac{\exp(x_k)}{\sum^n_{i=1}\exp(a_i)}$

python

def softmax(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    
    return y

3.5.2 实现 softmax 函数时的注意事项

由于要进行指数函数的运算，可能会导致溢出。

进行改进：

\begin{eqnarray} y_k &= \frac{\exp(a_k)}{\sum^n_{i=1}\exp(a_i)} &= \frac{C\exp(a_k)}{C\sum^n_{i=1}\exp(a_i)} \\ & &=\frac{\exp(a_k+\log C)}{\sum^n_{i=1}\exp(a_i+\log C)} \\ & &=\frac{\exp(a_k+C')}{\sum^n_{i=1}\exp(a_i+C')} \end{eqnarray}

其中 $C$ 任意的常数，记 $\log C=C'$ ，这里的 $C'$ 可以使用任何值，但是为了防止溢出，一般会使用输入信号中的最大值。

python

a = np.array([1010, 1000, 990])
np.exp(a) / np.sum(np.exp(a))

C:\Users\gzjzx\AppData\Local\Temp\ipykernel_15664\832863605.py:2: RuntimeWarning: overflow encountered in exp
  np.exp(a) / np.sum(np.exp(a))
C:\Users\gzjzx\AppData\Local\Temp\ipykernel_15664\832863605.py:2: RuntimeWarning: invalid value encountered in true_divide
  np.exp(a) / np.sum(np.exp(a))





array([nan, nan, nan])

python

c = np.max(a)
a - c

array([  0, -10, -20])

python

np.exp(a-c) / np.sum(np.exp(a-c))

array([9.99954600e-01, 4.53978686e-05, 2.06106005e-09])

综上，我们可以像下面这样实现 softmax 函数。

python

def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c) # 溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

3.5.3softmax 函数的特征

python

a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])
y = softmax(a)
y

array([0.01821127, 0.24519181, 0.73659691])

python

np.sum(y)

1.0

softmax 函数的输出是 0.0 到 1.0 之间的实数
softmax 函数的输出值的总和是 1

3.5.4 输出层的神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。

3.6 手写数字识别

假设学习已经全部结束，我们使用学习到的参数，先实现神经网络的“推理处理”。这个推理处理也称为神经网络的前向传播（forward propagation）。

3.6.1 MNIST 数据集

MNIST 的图像数据是 28 像素× 28 像素的灰度图像（1 通道），各个像素的取值在 0 到 255 之间。每个图像数据都相应地标有“7”“2”“1”等标签。

本书提供了便利的 Python 脚本 mnist.py，该脚本支持从下载 MNIST 数据集到将这些数据转换成 NumPy 数组等处理（mnist.py 在 dataset 目录下）。使用 mnist.py 时，当前目录必须是 ch01、ch02、ch03、…、ch08 目录中的一个。使用 mnist.py 中的 load_mnist()函数，就可以按下述方式轻松读入 MNIST 数据。

python

import sys, os
sys.path.append(os.pardir) # 为了导入父目录中的文件而进行的设定
from dataset.mnist import load_mnist
 
# 第一次调用会花费几分钟……
# load_mnist 函数以“( 训练图像, 训练标签)，( 测试图像，测试标签)”的形式返回读入的 MNIST 数据
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(flatten=True, normalize=False)

Downloading train-images-idx3-ubyte.gz ... 
Done
Downloading train-labels-idx1-ubyte.gz ... 
Done
Downloading t10k-images-idx3-ubyte.gz ... 
Done
Downloading t10k-labels-idx1-ubyte.gz ... 
Done
Converting train-images-idx3-ubyte.gz to NumPy Array ...
Done
Converting train-labels-idx1-ubyte.gz to NumPy Array ...
Done
Converting t10k-images-idx3-ubyte.gz to NumPy Array ...
Done
Converting t10k-labels-idx1-ubyte.gz to NumPy Array ...
Done
Creating pickle file ...
Done!

python

# 输出各个数据的形状
print(x_train.shape) # (60000, 784)
print(t_train.shape) # (60000,)
print(x_test.shape) # (10000, 784)
print(t_test.shape) # (10000,)

(60000, 784)
(60000,)
(10000, 784)
(10000,)

试着显示 MNIST 图像，同时也确认一下数据

python

import sys, os
sys.path.append(os.pardir)
import numpy as np
from dataset.mnist import load_mnist
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt
 
 
def img_show(img):
    pil_img = Image.fromarray(np.uint8(img))
    pil_img.show()
 
(x_train, t_train), (x_test, t_test) = load_mnist(flatten=True, normalize=False)
img = x_train[0]
label = t_train[0]
print(label) # 5
 
print(img.shape) # (784,)
img = img.reshape(28, 28) # 把图像的形状变成原来的尺寸
print(img.shape) # (28, 28)
plt.imshow(img, cmap='gray')

5
(784,)
(28, 28)





<matplotlib.image.AxesImage at 0x1f5a63afca0>

3.6.2 神经网络的推理处理

对这个 MNIST 数据集实现神经网络的推理处理。神经网络的输入层有 784 个神经元，输出层有 10 个神经元。

输入层的 784 这个数字来源于图像大小的 28 × 28 = 784
输出层的 10 这个数字来源于 10 类别分类（数字 0 到 9，共 10 类别）
这个神经网络有 2 个隐藏层，第 1 个隐藏层有 50 个神经元，第 2 个隐藏层有 100 个神经元。这个 50 和 100 可以设置为任何值。

python

def get_data():
    """
    获取数据
    """
    (x_train, t_train), (x_test, t_test) = \
        load_mnist(normalize=True, flatten=True, one_hot_label=False)
    return x_test, t_test

将 normalize 设置成True后，函数内部会进行转换，将图像的各个像素值除以 255，使得数据的值在 0.0～1.0 的范围内。像这样把数据限定到某个范围内的处理称为正规化（normalization）。此外，对神经网络的输入数据进行某种既定的转换称为预处理（pre-processing）。这里，作为对输入图像的一种预处理，我们进行了正规化。

python

def init_network():
    """
    读入保存在 pickle 文件 sample_weight.pkl 中的学习到的权重参数
    这个文件中以字典变量的形式保存了权重和偏置参数
    """
    with open("sample_weight.pkl", 'rb') as f:
        network = pickle.load(f)
    return network

python

def predict(network, x):
    """
    前向传播
    """
    W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']
    b1, b2, b3 = network['b1'], network['b2'], network['b3']
    a1 = np.dot(x, W1) + b1
    z1 = sigmoid(a1)
    a2 = np.dot(z1, W2) + b2
    z2 = sigmoid(a2)
    a3 = np.dot(z2, W3) + b3
    y = softmax(a3)
    
    return y

python

import pickle
 
x, t = get_data()
network = init_network()
 
accuracy_cnt = 0
for i in range(len(x)):
    """
    用 for 语句逐一取出保存在 x 中的图像数据，用 predict()函数进行分类。
    predict()函数以 NumPy 数组的形式输出各个标签对应的概率。
    """
    y = predict(network, x[i])
    p = np.argmax(y) # 获取概率最高的元素的索引
    if p == t[i]:
        accuracy_cnt += 1
        
print("Accuracy: " + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))

Accuracy:0.9352

3.6.3 批处理

输出刚才的神经网络的各层的权重的形状。

python

x, _ = get_data()
network = init_network()
W1, W2, W3 = network['W1'], network['W2'], network['W3']

python

x.shape

(10000, 784)

python

x[0].shape

(784,)

python

W1.shape

(784, 50)

python

W2.shape

(50, 100)

python

W3.shape

(100, 10)

从整体的处理流程来看，图 3-26 中，输入一个由 784 个元素（原本是一个 28 × 28 的二维数组）构成的一维数组后，输出一个有 10 个元素的一维数组。这是只输入一张图像数据时的处理流程。

现在我们来考虑打包输入多张图像的情形。比如，我们想用predict() 函数一次性打包处理 100 张图像。为此，可以把 $\mathbf{x}$ 的形状改为 100 × 784，将 100 张图像打包作为输入数据。

这种打包式的输入数据称为批（batch）。批有“捆”的意思，图像就如同纸币一样扎成一捆。

python

x, t = get_data()
network = init_network()
 
batch_size = 100  # 批数量
accuracy_cnt = 0
 
for i in range(0, len(x), batch_size):
    """
    在 range()函数生成的列表的基础上，通过 x[i:i+batch_size]从输入数据中抽出批数据。
    x[i:i+batch_n]会取出从第 i 个到第 i+batch_n 个之间的数据。
    """
    x_batch = x[i:i+batch_size]
    y_batch = predict(network, x_batch)
    """
    参数 axis=1。这指定了在 100 × 10 的数组中，沿着第 1 维方向（以第 1 维为轴）
    找到值最大的元素的索引（第 0 维对应第 1 个维度）。
    """
    p = np.argmax(y_batch, axis=1)  # 
    accuracy_cnt += np.sum(p == t[i:i+batch_size])
 
print("Accuracy:" + str(float(accuracy_cnt) / len(x)))

Accuracy:0.9352

3.7 小结

神经网络中的激活函数使用平滑变化的 sigmoid 函数或 ReLU 函数。
通过巧妙地使用 NumPy 多维数组，可以高效地实现神经网络。
机器学习的问题大体上可以分为回归问题和分类问题。
关于输出层的激活函数，回归问题中一般用恒等函数，分类问题中一般用 softmax 函数。
分类问题中，输出层的神经元的数量设置为要分类的类别数。
输入数据的集合称为批。通过以批为单位进行推理处理，能够实现高速的运算。