正文

15 方差分析

15.1 方差分析概述

通过对实验数据进行分析, 检验方差相同的多个正态总体均值是否相等

实例: 为了对几个行业的服务质量进行评价, 消费者协会在 4 个行业中分别抽取了不同的企业作为样本.最近一年中消费者总共对 23 家企业投诉的次数如下表所示

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import numpy as np
import pandas as pd

data = np.array([[57, 68, 31, 44],
                 [66, 39, 49, 51],
                 [49, 29, 21, 65],
                 [40, 45, 34, 77],
                 [34, 56, 40, 58],
                 [53, 51, None, None],
                 [44, None, None, None]])
df = pd.DataFrame(data, index=range(1, 8), columns=["零售业", "旅游业", "航空业", "家电制造业"])
df.index.name = "观测值"
df
零售业 旅游业 航空业 家电制造业
观测值
1 57 68 31 44
2 66 39 49 51
3 49 29 21 65
4 40 45 34 77
5 34 56 40 58
6 53 51 None None
7 44 None None None 
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import matplotlib.pyplot as plt

# 解决中文显示问题
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.figure()
for i in range(data.shape[1]):
    plt.scatter(i * np.ones(data.shape[0]), data.T[i])
plt.xticks(range(data.shape[1]), ('零售业', '旅游业', '航空业', '家电制造业'))
plt.ylabel('被投诉次数')  # 设置坐标轴名称
plt.xlabel('行业')
plt.show()

png

从散点图中可以看出, 不同行业被投诉的次数的均值是有差异的, 但这种差异也可能是由抽样的随机性造成的, 需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著

15.2 方差的比较

  • 组内方差: 某一因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差, 例如, 零售业被投诉次数的方差. 组内方差只包含随机误差

  • 组间方差: 某一因素的不同水平(不同总体)下个样本之间的方差, 例如, 4 个行业被投诉次数之间的方差. 组间方差既包含随机误差, 也包含系统误差

如果不同行业对投诉次数没有影响, 则组间误差中只包含随机误差, 没有系统误差, 此时组件误差与组内误差经过平均后的数值很接近, 它们的比值会接近于 1

如果不同行业对投诉次数有影响, 在组间误差中除包含随机误差之外, 还会包含系统误差, 此时它们的比值会大于 1

15.3 方差分析

15.3.1 单因素方差分析

与方差分析相关的统计量:

1 水平(总体)的均值

X¯i=1niΣj=1niXij,i=1,...,k\bar X_i=\frac{1}{n_i}\Sigma^{n_i}_{j=1}X_{ij}, i=1,...,k 

1
2
3
4
X_bar = []
for i in range(data.shape[1]):
    X_bar.append(data.T[i][data.T[i] != np.array(None)].mean())
X_bar
[49.0, 48.0, 35.0, 59.0]
2 全部观察值的总均值

全部观察值XijX_ij的总和 除以 观察值的个数

X¯¯=1nΣi=1kΣj=1niXij=1nΣi=1kniXi¯\bar{\bar{X}}=\frac{1}{n}\Sigma^k_{i=1}\Sigma^{n_i}_{j=1}X_{ij}=\frac{1}{n}\Sigma^k_{i=1}n_i\bar{X_i} 

1
2
X_bar_bar = data.T[data.T != np.array(None)].mean()  # 不知道咋念...
X_bar_bar
47.869565217391305
3 总离差平方和(SST)

样本全部观察值XijX_{ij}与总平均值X¯¯\bar{\bar X}的离差平方和, 反映全部观察值的离散情况.

SST=Σi=1kΣj=1ni(Xij−X¯¯)2SST=\Sigma^k_{i=1}\Sigma^{n_i}_{j=1}(X_{ij}- \bar{\bar X})^2 

1
2
SST = ((data.T[data.T != np.array(None)] - X_bar_bar) ** 2).sum()
SST
4164.608695652174
4 水平项平方和(SSA)

各个水平AiA_i下样本均值X¯i\bar X_i与样本总平均X¯¯\bar{\bar X}的偏差平方和, 它在一定程度上反映了各总体均值μj\mu_j之间的差异引起的波动, 又称组间平方和, 该平方和既包括随机误差, 也包括系统误差

SSA=Σi=1kΣj=1ni(X¯i−X¯¯)2=Σi=1kni(X¯i−X¯¯)2SSA=\Sigma^k_{i=1}\Sigma^{n_i}_{j=1}(\bar X_i-\bar{\bar X})^2=\Sigma^k_{i=1}n_i(\bar X_i-\bar{\bar X})^2 

1
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4
5
SSA = 0
for i in range(data.shape[1]):
    SSA += len(data.T[i][data.T[i] != np.array(None)]) *\
    (data.T[i][data.T[i] != np.array(None)].mean() - X_bar_bar) ** 2
SSA
1456.608695652174
5 误差项平方和(SSE)

在各个总体AiA_i下, 样本数据XijX_{ij}与其总体均值X¯i\bar X_i的偏差平方和反映了抽样的随机性引起的样本数据XijX_{ij}的波动, 又称组内平方和, 该平方和反映的是随机误差的大小

SSE=Σi=1kΣj=1ni(Xij−Xi¯)2SSE=\Sigma^k_{i=1}\Sigma^{n_i}_{j=1}(X_{ij}-\bar{X_i})^2 

1
2
3
4
5
SSE = 0
for i in range(data.shape[1]):
    for j in data.T[i][data.T[i] != np.array(None)]:
        SSE += (j - X_bar[i]) ** 2
SSE
2708.0
6 总离差平方和的分解

SST=SSE+SSASST=SSE+SSA

7 各自由度

SSTSST的自由度为n−1n-1, 其中nn为全部观察值的个数

误差项离差平方和(SSESSE)的自由度为k−1k-1, 其中kk为因素水平(总体)的个数

水平项离差平方和(SSASSA)的自由度为n−kn-k

8 各误差的均方差 MSA 和 MSE

组间方差SSASSA的均方差记为MSAMSA

组内方差SSESSE的均方差记为MSEMSE

计算方法是用误差平方 除以 相应的自由度

设置检验统计量

F=SSA/(k−1)SSE/(n−k)=MSAMSEF(k−1,n−k)F=\frac{SSA/(k-1)}{SSE/(n-k)}=\frac{MSA}{MSE}F(k-1, n-k) 

1
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3
4
k = len(data[1])
n = len(data[data!= np.array(None)])
F = (SSA / (k - 1)) / (SSE / (n - k))
F
3.4066426904716036

上述分析的结果可排成表格的形式, 称为单因素实验方差分析表:

方差来源 误差平方和 自由度 均方差 F 值
组间 SSA k-1 MSA MSA/MSE
组内 SSE n-k MSE
总和 SST=SSE+SSA n-1

15.3.2 方差分析中的多重比较

为了进一步了解因素 A 的各个总体对观测变量的具体影响效果

多重比较检验就是通过对各个总体观测变量均值的逐对比较, 来进一步检验到底哪些均值之间存在差异, 并找出最优水平.

如果原假设H0:μi=μj,i,j=1,2,...,r,i≠jH_0:\mu_i=\mu_j,i,j=1,2,...,r,i\ne j成立, 检验统计量应较小, 因此拒绝域为∣X¯i−X¯j∣>tα/2MSE(1ni+1nj)|\bar X_i-\bar X_j|>t_{\alpha/2}\sqrt{MSE(\frac{1}{n _i}+\frac{1}{n_j})}

如果满足拒绝域条件, 则认为μi\mu_i与μj\mu_j有显著性差异, 否则认为它们之间没有显著性差异

例 15.2
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import pandas as pd
import numpy as np

data = np.array([[26.5, 31.2, 27.9, 30.8],
                [28.7, 28.3, 25.1, 29.6],
                [25.1, 30.8, 28.5, 32.4],
                [29.1, 27.9, 24.2, 31.7],
                [27.2, 29.6, 26.5, 32.8]])
df = pd.DataFrame(data, index=range(1, 6), columns=["无色", "粉色", "橘黄色", "绿色"])
df.index.name = "样本"
df
无色 粉色 橘黄色 绿色
样本
1 26.5 31.2 27.9 30.8
2 28.7 28.3 25.1 29.6
3 25.1 30.8 28.5 32.4
4 29.1 27.9 24.2 31.7
5 27.2 29.6 26.5 32.8 
1
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X_bar = []
for i in data.T:
    X_bar.append(np.round(i.mean(), 2))
X_bar
[27.32, 29.56, 26.44, 31.46]

1
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SSE = 0
for i in range(data.shape[1]):
    for j in data.T[i][data.T[i] != np.array(None)]:
        SSE += (j - X_bar[i]) ** 2
SSE
39.083999999999975

1
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3
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n = data.size
k = data.shape[1]
MSE = SSE / (n - k)
MSE
2.4427499999999984

令显著性水平α=0.05,tα/2(16)=2.12,ni=nj=5,i,j=1,2,3,4,5\alpha=0.05,t_{\alpha/2}(16)=2.12,n_i=n_j=5,i,j=1,2,3,4,5

tα/2MSE(1ni+1nj)=2.096t_{\alpha/2}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}=2.096

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from scipy.stats import t

alpha = 0.05
t_alpha_div_2 = t.ppf(1 - alpha / 2, (n - k))
t_alpha_div_2
2.1199052992210112

1
np.round(t_alpha_div_2 * np.sqrt(MSE * (1 / data.shape[0] + 1 / data.shape[0])), 3)
2.095

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3
for i in range(len(X_bar) - 1):
    for j in range(i + 1, len(X_bar)):
        print("|\\bar X_{} - \\bar X_{}| ={})".format(i + 1, j + 1, np.round(np.abs(X_bar[i]-X_bar[j]), 2)))
|\bar X_1 - \bar X_2| =2.24)
|\bar X_1 - \bar X_3| =0.88)
|\bar X_1 - \bar X_4| =4.14)
|\bar X_2 - \bar X_3| =3.12)
|\bar X_2 - \bar X_4| =1.9)
|\bar X_3 - \bar X_4| =5.02)

依据上面结果可得出相应的影响效果,

如∣X¯1−X¯2∣>2.095|\bar X_1 - \bar X_2|>2.095, 则说明X1X_1和X2X_2有显著性差异, 也就是说明无色和粉色对产品销售的影响有显著性差异

∣X¯2−X¯4∣<2.095|\bar X_2 - \bar X_4|<2.095, 说明X2X_2和X4X_4没有显著性差异, 也就是说粉色和绿色对产品销售的影响没有显著性差异

15.3.3 多因素方差分析

  • 无交互效应的双因素离差平法和分解: SST=SSA+SSB+SSESST=SSA+SSB+SSE

  • 有交互效应的双因素离差平方和分解: SST=SSA+SSB+SSAB+SSESST=SSA+SSB+SSAB+SSE

方差来源 误差平方和 自由度 均方差 MS F 值
因素 A SSASSA s−1s-1 MSA=SSAs−1MSA=\frac{SSA}{s-1} FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE}
因素 B SSBSSB r−1r-1 MSB=SSBr−1MSB=\frac{SSB}{r-1} FB=MSBMSEF_B=\frac{MSB}{MSE}
因素 AB 交互作用 SSABSSAB (r−1)(s−1)(r-1)(s-1) MSAB=SSAB(r−1)(s−1)MSAB=\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)} FAB=MSABMSEF_{AB}=\frac{MSAB}{MSE}
误差 SSESSE rs(m−1)rs(m-1) MSE=SSErs(m−1)MSE=\frac{SSE}{rs(m-1)}
总和 SSTSST rsm−1rsm-1
统计量 服从分布
FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE} [s−1,rs(m−1)]\left[s-1,rs(m-1)\right]

15.3.3 多因素方差分析

  • 无交互效应的双因素离差平法和分解: SST=SSA+SSB+SSESST=SSA+SSB+SSE

  • 有交互效应的双因素离差平方和分解: SST=SSA+SSB+SSAB+SSESST=SSA+SSB+SSAB+SSE

方差来源 误差平方和 自由度 均方差 MS F 值
因素 A SSASSA s−1s-1 MSA=SSAs−1MSA=\frac{SSA}{s-1} FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE}
因素 B SSBSSB r−1r-1 MSB=SSBr−1MSB=\frac{SSB}{r-1} FB=MSBMSEF_B=\frac{MSB}{MSE}
因素 AB 交互作用 SSABSSAB (r−1)(s−1)(r-1)(s-1) MSAB=SSAB(r−1)(s−1)MSAB=\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)} FAB=MSABMSEF_{AB}=\frac{MSAB}{MSE}
误差 SSESSE rs(m−1)rs(m-1) MSE=SSErs(m−1)MSE=\frac{SSE}{rs(m-1)}
总和 SSTSST rsm−1rsm-1
统计量 服从分布
FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE} [s−1,rs(m−1)]\left[s-1,rs(m-1)\right]

15.3.3 多因素方差分析

  • 无交互效应的双因素离差平法和分解: SST=SSA+SSB+SSESST=SSA+SSB+SSE

  • 有交互效应的双因素离差平方和分解: SST=SSA+SSB+SSAB+SSESST=SSA+SSB+SSAB+SSE

方差来源 误差平方和 自由度 均方差 MS F 值
因素 A SSASSA s−1s-1 MSA=SSAs−1MSA=\frac{SSA}{s-1} FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE}
因素 B SSBSSB r−1r-1 MSB=SSBr−1MSB=\frac{SSB}{r-1} FB=MSBMSEF_B=\frac{MSB}{MSE}
因素 AB 交互作用 SSABSSAB (r−1)(s−1)(r-1)(s-1) MSAB=SSAB(r−1)(s−1)MSAB=\frac{SSAB}{(r-1)(s-1)} FAB=MSABMSEF_{AB}=\frac{MSAB}{MSE}
误差 SSESSE rs(m−1)rs(m-1) MSE=SSErs(m−1)MSE=\frac{SSE}{rs(m-1)}
总和 SSTSST rsm−1rsm-1
统计量 服从分布
FA=MSAMSEF_A=\frac{MSA}{MSE} [s−1,rs(m−1)]\left[s-1,rs(m-1)\right]
FB=MSBMSEF_B=\frac{MSB}{MSE} [r−1,rs(m−1)]\left[r-1,rs(m-1)\right]
FAB=MSABMSEF_{AB}=\frac{MSAB}{MSE} [(r−1)(s−1),rs(m−1)]\left[(r-1)(s-1),rs(m-1)\right]

m 为试验次数(≥2\ge2)

例 15.3

有s=4s=4个品牌的彩电在r=5r=5个地区销售, 为分析品牌和地区对销售量是否有影响, 每个品牌在各个地区的销售量如下, 试分析品牌和地区对销售量是否有显著影响?(α=0.05)(\alpha=0.05)

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import numpy as np
import pandas as pd

data = np.array([[365, 350, 343, 340, 323],
                 [345, 368, 363, 330, 333],
                 [358, 323, 353, 343, 308],
                 [288, 280, 298, 260, 298]])
df = pd.DataFrame(data, columns=["B1", "B2", "B3", "B4", "B5"],
                  index=["A1", "A2", "A3", "A4"])
df.index.name = "品牌销售表(因素 A)"
df.columns.name = "销售地区(因素 B)"
df
销售地区(因素 B) B1 B2 B3 B4 B5
品牌销售表(因素 A)
A1 365 350 343 340 323
A2 345 368 363 330 333
A3 358 323 353 343 308
A4 288 280 298 260 298

SST=3652+3502+...+2982−6569220=17888.95SST=365^2+350^2+...+298^2-\frac{6569^2}{20}=17888.95

1
2
SST = (data ** 2).sum() - data.sum() ** 2 / data.size
SST
17888.950000000186

SSA=15(17212+17392+...+14242)−6569220=13004.55SSA=\frac{1}{5}(1721^2+1739^2+...+1424^2)-\frac{6569^2}{20}=13004.55

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SSA = 0
for i in data:
    SSA += i.sum() ** 2
SSA /= data.shape[1]
SSA -= data.sum() ** 2 / data.size
SSA
13004.55000000028

SSB=14(13562+13212+...+12622)−6569220=2011.7SSB=\frac{1}{4}(1356^2+1321^2+...+1262^2)-\frac{6569^2}{20}=2011.7

1
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6
SSB = 0
for i in data.T:
    SSB += i.sum() ** 2
SSB /= data.shape[0]
SSB -= data.sum() ** 2 / data.size
SSB
2011.7000000001863

SSE=SST−SSA−SSB=2872.7SSE=SST-SSA-SSB=2872.7

1
2
SSE = SST - SSA - SSB
SSE
2872.6999999997206
差异源 平方和 自由度 均方 F 值
品牌(因素 A) SSA = 13004.55 s - 1 = 3 MSA = SSA / (s - 1) = 4334.85 MSA / MSE = 18.10777
地区(因素 B) SSB = 2011.7 r - 1 = 4 MSB = SSB / (r - 1) = 502.925 MSB / MSE = 2.100846
误差 SSE = 2872.7 (r - 1)(s - 1) = 12 MSE = SSE / (rs(m - 1)) = 239.3917
总和 SST = SSA + SSB + SSE = 17888.95 rsm - 1 = 19

  • 由于FA=18.108>F0.95(3,12)=3.49F_A=18.108>F_{0.95}(3, 12)=3.49, 说明彩电的品牌对销售量有显著影响

  • 由于FB=2.101<F0.95(4,12)=3.26F_B=2.101<F_{0.95}(4, 12)=3.26, 说明销售地区对彩电的销售没有显著影响

15.4 综合实例——连锁餐饮用户评级分析

15.4.1 单因素方差实例分析

某连锁餐饮在 3 个城市用户评分资料如表所示，已知各城市用户评分的分布近似与正态等方差，是以 95%的可靠性判断城市对用户评分是否有显著影响？

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from scipy.stats import f_oneway
import scipy.stats as stats
import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

cityA = [10,9,9,8,8,7,7,8,8,9]
cityB = [10,8,9,8,7,7,7,8,9,9]
cityC = [9,9,8,8,8,7,6,9,8,9]
df = pd.DataFrame(np.vstack((cityA, cityB, cityC)), index=['A', 'B', 'C'])
df.columns.name = "用户评分"
df.index.name = "城市"
df
用户评分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
城市
A 10 9 9 8 8 7 7 8 8 9
B 10 8 9 8 7 7 7 8 9 9
C 9 9 8 8 8 7 6 9 8 9
方法 1 使用 scipy.stats.f_oneway()方法
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# 首先检查方差是否相等, 在使用 f_oneway 函数之前需要先检验方差齐性, 这里使用了 levene 方差齐性检验
"""
scipy.stats.levene(*samples, center='median', proportiontocut=0.05)
对等方差执行 Levene 检验。
小的 p-value 表明总体没有相等的方差。
"""
(W, p) = stats.levene(cityA, cityB, cityC)
if p < 0.05:
    print(('Warning: the p-value of the Levene test is <0.05: p = {0}'.format(p)))
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# 单因素方差分析
# 第一种方法
F_statistic, pVal = stats.f_oneway(cityA, cityB, cityC)
print('单因素方差分析结果（f_oneway）: F = {0}, and p = {1}'.format(F_statistic, pVal))
if pVal < 0.05:
    print('One of the groups is significantly different.')
单因素方差分析结果（f_oneway）: F = 0.10150375939849626, and p = 0.9038208903685354
方法 2 利用 statsmodels 库函数中包含的 anova_lm 模型, 使用线性 OLSModel 进行方差分析
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# 单因素方差分析
# 第二种方法 statsmodel 库函数
# 将数据存入 dataframe 中
df = pd.DataFrame()
names = locals()
for city in ['A','B','C']:
    s = names['city%c' % city]
    df_temp = pd.DataFrame({'city':city[-1], 'S':s})
    df = pd.concat([df, df_temp], ignore_index=True)
# 使用线性 OLSModel 进行方差分析
model = ols('S ~ city', df).fit()
anovaResults = anova_lm(model)
print('单因素方差分析结果（anova_lm）:')
print(anovaResults)
df
单因素方差分析结果（anova_lm）:
            df  sum_sq   mean_sq         F    PR(>F)
city       2.0     0.2  0.100000  0.101504  0.903821
Residual  27.0    26.6  0.985185       NaN       NaN
city S
0 A 10
1 A 9
2 A 9
3 A 8
4 A 8
5 A 7
6 A 7
7 A 8
8 A 8
9 A 9
10 B 10
11 B 8
12 B 9
13 B 8
14 B 7
15 B 7
16 B 7
17 B 8
18 B 9
19 B 9
20 C 9
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3 手动计算各误差值, 实现单因素方差分析
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from scipy.stats import f_oneway
import scipy.stats as stats
import numpy as np
import pandas as pd

cityA = [10,9,9,8,8,7,7,8,8,9]
cityB = [10,8,9,8,7,7,7,8,9,9]
cityC = [9,9,8,8,8,7,6,9,8,9]
df = pd.DataFrame()
names = locals()
for city in ['A','B','C']:
    s = names['city%c' % city]
    df_temp = pd.DataFrame({'city':city[-1], 'S':s})
    df = pd.concat([df, df_temp], ignore_index=True)
groups = df.groupby('city')
# The "total sum-square" is the squared deviation from the mean
ss_total = np.sum((df['S'] - df['S'].mean()) ** 2)
# 计算 SSE 和 SSA
(ss_treatments, ss_error) = (0, 0)
for val, group in groups:
    ss_error += sum((group['S'] - group['S'].mean()) ** 2)
    ss_treatments += len(group) * (group['S'].mean() - df['S'].mean()) ** 2
df_groups = len(groups) - 1
df_residuals = len(df) - len(groups)
F = (ss_treatments / df_groups) / (ss_error / df_residuals)
df = stats.f(df_groups, df_residuals)
p = df.sf(F)
print(('单因素方差分析结果(手动计算）: F = {0}, and p = {1}'.format(F, p)))
单因素方差分析结果(手动计算）: F = 0.1015037593984973, and p=0.9038208903685354

由于F<F0.05(2,27)=3.35F<F_{0.05}(2, 27)=3.35或P>0.05P>0.05, 所以原假设成立, 不能认为城市对用户评分有影响

15.4.2 多因素方差分析实例

收集在环境等级(environment)和食材等级(ingredients)两个因素影响下的某连锁餐饮店的用户评价数据

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#影响餐饮的 2 个因素：环境等级，食材等级
from scipy import stats
import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm
environmental =  [5,5,5,5,5,4,4,4,4,4,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1]
ingredients    = [5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1]
score      =     [5,5,4,3,2,5,4,4,3,2,4,4,3,3,2,4,3,2,2,2,3,3,3,2,1]
data = {'E':environmental, 'I':ingredients, 'S':score}  # E 表示环境, I 表示食材, S 表示分数
df = pd.DataFrame(data)
df
E I S
0 5 5 5
1 5 4 5
2 5 3 4
3 5 2 3
4 5 1 2
5 4 5 5
6 4 4 4
7 4 3 4
8 4 2 3
9 4 1 2
10 3 5 4
11 3 4 4
12 3 3 3
13 3 2 3
14 3 1 2
15 2 5 4
16 2 4 3
17 2 3 2
18 2 2 2
19 2 1 2
20 1 5 3
21 1 4 3
22 1 3 3
23 1 2 2
24 1 1 1

利用 statsmodels 中的 anova_lm 模块进行多因素方差分析

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"""
符号意义:
(~)隔离自变量和因变量(左边因变量, 右边自变量)
(+)分离各个自变量
"""
formula = 'S~E+I'
results = anova_lm(ols(formula,df).fit() )
print(results)
            df  sum_sq    mean_sq           F        PR(>F)
E          1.0    7.22   7.220000   46.444444  7.580723e-07
I          1.0   18.00  18.000000  115.789474  3.129417e-10
Residual  22.0    3.42   0.155455         NaN           NaN

由于P 值很小, 说明环境和食材两个因素对用户评分影响较大

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